1、1,复习,3.两向量的数量积,4.两向量的夹角,2,5.两向量的向量积,6.两向量互相平行垂直的条件,7. 向量的混合积,3,卫星接收装置(旋转抛物面),.,化工厂或热电厂的冷却塔(旋转双曲面),4,第五节 曲面及其方程,曲面方程的概念,旋转曲面,柱面,5,任何曲面都可以看作是点的,几何轨迹.曲面 S 与三元方程,则方程(1)就叫做曲面S的方程, 而曲面S就叫做方程(1)的图形.,有下述关系：, 曲面S上任一点的坐标都满足方程(1);, 不在曲面S上的点的坐标都不满足方程(1),一、曲面方程的概念,6,解,(2),若球心在原点，则,球面的方程为,半径为 R 的球面方程.,(3),例1 求到点M
2、0 (x0, y0, z0) 的距离等于R的点的轨迹方程.,设轨迹上的动点为M(x,y,z),即,则,7,解,例2 求到A (1,2,3),B(2,-1,4)两点距离相等的点的轨迹方程.,设轨迹上的动点为M(x,y,z),即,整理得,即为所求点的轨迹方程.,线段 的垂直平分面.,则,8,配方得,半径为 的球面.,解,原方程表示球心在点,一般地，三元二次方程,(1) x2, y2, z2项系数相同;,(2) 缺 xy , yz , zx 项.,其图形可能是一个球面，或点，或虚轨迹.,特点：,9,在空间解析几何中关于曲面的研究,有下列两个基本问题:,(2)已知曲面的方程，研究这方程所表示的曲面的形
3、状.,(1)已知曲面点的几何轨迹，建立曲面的方程；,（讨论旋转曲面）,（讨论柱面）,P4,10,一条平面曲线绕其平面上一条定直线旋转一周所形成的,曲面叫做旋转曲面.,定直线称为旋转轴 .,二、旋转曲面,观察旋转曲面的形成过程:,旋转轴,母线,旋转曲线称为母线 .,11,例如 :,12,以下建立yOz面上曲线C 绕 z 轴旋转所成曲面的方程:,就是所求旋转曲面的方程.,(5),，点M1(0,y1,z1)在曲线C,则,13,当曲线 C 绕 y 轴旋转时，方程如何？,思考：,14,同理，,xOy面上曲线C:,zOx面上曲线C:,15,解,这两种曲面都叫做旋转双曲面.,一周,求所形成的旋转曲面的方程.
4、,将zOx平面上的双曲线,例4,绕 x 轴旋转得,绕 z 轴旋转得,分别绕 x 轴和 z 轴旋转,16,两边平方,例5 建立顶点在原点, 旋转轴为z 轴, 半顶角为,的圆锥面方程.,解,在yOz面上的直线 L的方程为:,L绕z 轴旋转时,圆锥面的方程为,的大小与圆锥面的张口大小有何关系？,思考：,17,例6 试判断方程,表示何种曲面?并作图.,yOz 面上的抛物线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面.,或 zOx 面上的抛物线,绕 z 轴旋转所得旋转曲面.,解,P4,18,三、柱面,解,在 xoy 面上，,表示圆C,此曲面可以看作是由平行于z 轴的直线 l,沿xoy面上的圆,移动而成.,过此点作平行
5、z,在圆C上任取一点,轴的直线 ,准线,母线,圆柱面,由于方程少z,故,19,平行于定直线并沿定曲线C 移动的直线L形成的轨迹叫做,定曲线C叫做柱面的准线,柱面,动直线L叫做柱面的母线.,观察柱面的形成过程:,柱面的概念,20,抛物柱面,椭圆柱面,过 z 轴的平面,柱面举例,21,其准线是 xOy 面上的曲线,方程,表示母线平行于z 轴的柱面.,其准线是 xOz 面上的曲线,方程,表示母线平行于 y 轴的柱面.,方程,其准线是 yOz 面上的曲线,表示母线平行于 x 轴的柱面.,一般地，在空间直角坐标系中：,二元方程的几何图形为柱面,小结,22,内容小结,空间曲面,三元方程,球面,旋转曲面,绕
6、 z 轴的旋转曲面:,柱面,曲面,表示母线平行 z 轴的柱面.,yOz 面上曲线 C :,P24,23,思考题,平面解析几何中,空间解析几何中,斜率为1的直线,方程,指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形？,P24,24,空间曲线的一般方程,空间曲线的参数方程,空间曲线在坐标面上的投影,第六节 空间曲线及其方程,25,一、空间曲线的一般方程, 曲线上点的坐标都满足方程组（1）；,曲线与方程组的关系：, 不在曲线上的点的坐标不能同时满足两个方程.,空间曲线可以看作两个曲面的交线.,方程组(1)叫做空间曲线 C 的一般方程.,26,C,解,表示母线平行于 Z 轴的圆柱面,在原
7、点, 半径为1.,圆心,表示母线平行于 y 轴的柱面,它是一平面.,所以表示圆柱面与平面的交线 C为一椭圆.,27,例2 方程组,表示球面与平面的交线 C.,表示上半球面与圆柱面的交线C.,例3 方程组,28,练习1,P24,29,二、空间曲线的参数方程,这个方程组叫做空间曲线的参数方程.,空间曲线C的方程除了一般方程外,也可以用参数形式,表示,只要将C上的动点坐标x , y , z 表示为参数t 的函数:,随着t 的变动便可得曲线上的全部点.,30,叫做螺旋线的螺距.,解,取时间 t 为参数，,设当t = 0时,动点位于,x 轴上的一点A(a,0,0)处.经过时间 t ,动,点由A运动到M(
8、x , y , z ),记M在xOy面,面上的投影为,所以,M构成的图形叫做螺旋线,试建立其参数方程.,例4,轴旋转,同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升,那么点,其中、v为常数.,若令,P24,31,三、空间曲线在坐标面上的投影,投影柱面,投影曲线,以曲线C为准线、母线平行于z轴的柱面叫做,曲线C关于xOy面的投影柱面.,投影柱面与xOy面的交线叫做空间曲线C,在xOy面上的投影曲线，或简称投影.,设空间曲线C 的一般方程为,（1）,消去变量 z 得方程,（2）,方程（2）表示一个母线平行于z轴的柱面，它必定包含曲线C.,一定包含C在xOy面上的投影.,32,包含曲线C 在 yOz 面上
9、的投影曲线,空间曲线在yOz、zOx面上的投影? 方程？,包含曲线 C在 zOx 面上的投影曲线,思考：,33,求曲线 C在 xOy及 yOz 面上的投影方程.,例5 设空间曲线 C,解,消去 x 得：,曲线 C在 yOz 面上的投影方程为:,消去 z 得：,曲线 C在 xOy上的投影方程为：,34,补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.,空间立体,曲面,立体也好曲面也好 它们的投影问题,都要转化为曲线的投影问题.,35,例6 设一个立体由上半球面,求它在xOy 面上的投影.,解 上半球面和锥面的交线C为：,消去 z 得,因此交线 C 在 xOy 面上的投影曲线为：,于是所求立体在 xOy
10、面上的投影,是圆域：,P40,P39,36,两曲面的交线在 xOy面上的投影方程为：,解,练习2 求球面 与平面 的交线在xOy面 上的投影的方程.,消去 z 得：,即,P40,P39,37,练习3 求上半球 与圆柱体,的公共部分在xoy面和xoz面上的投影.,P40,P39,38,（1）在 xoy 面上的投影：,（2）在 zox 面上的投影：,（3）在 yoz 面上的投影：,练习4 求柱面 与 第一卦限部分所围立体在各坐标面上的投影.,P40,P39,39,空间曲线,一般式,参数式,空间曲线在坐标面上的投影,曲线 C：,在 xOy 面上的投影曲线,内容小结,作业：1116,P36,40,综合题,求曲线,绕 z 轴旋转的曲面与平面,的交线在 xoy 平面的投影曲线方程.,解,旋转曲面方程为,交线为,此曲线向 xoy 面的投影柱面方程为,此曲线在 xoy 面上的投影曲线方程为,它与所给平面的,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,
