1、中学数学竞赛群元旦竞赛试题（高中组）考试时间：150 分钟 本卷满分：160 分一、填空题：本大题共 12 小题，每小题 7 分，共 84 分。把答案填在横线上1数列 an=n2+ln( )的前 n 项和为 +12f(x)=x 2tanx+2sinxcosx+1 在区间-1,1 上最大值与最小值的和为 3正 n 边形边长为 1，则其外接圆半径为 4方程 x(x+1)=y(y+2)的所有非负整数解为 5方程 2x2-5y2=1 的整数解为 6在 nn 的方格中涂黑 m 个方格（nm） ，要求被涂黑的方格不能在同一行或同一列，则共有 种涂法7两个半径为 a 的圆柱体垂直相交，重合部分体积的最大值为
2、 8已知 a+b+c=1,则 a(1-a)+b(1-b)+c(1-c)的最大值为 9在圆周上放 21 个点，则这些点组成的劣弧中，弧度小于等于 120的至少有 段10在 22 的方格中填入 4 个数，从左往右，第一排为 a,b；第二排为c,d。每次变换将同一排或同一列同时加减 1，则能让方格中所有的数均为 0 的初始值 a,b,c,d 满足的关系为 11在四面体 A-BCD 中，平行于 AB、CD 的平面截棱 BD 所成的距离之比为a，则该平面截四面体所成的两部分的体积之比为 12f(n) 表示满足如下条件的最小的值：n 为正整数对于小于 n 的任意正整数 k 存在平面上的 f(n)个点，使得
3、存在至少一条直线恰好过这 f(n)个点中的 k 个，则 f(n)= 二、解答题：本大题共 4 小题，共 76 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤13 （本小题满分 8 分）（鹳公鸠 供题）14 （本小题满分 15 分）（鹳公鸠 供题）15. （本小题满分 23 分） （1）n 为给定的正整数，求证：不定方程x1!+x2!+xn!=x!有有限多个非负整数解。（2）n 为给定的正整数，求不定方程 x1!+x2!+xn!=x!满足最小的k(k=min4,n)个数互不相同且 xi 不减的非负整数解。16 （本小题满分 30 分）一个国家有 n 个城市，这些城市中有一些道路，使得从任意一个城市都可以到任意的另外一个城市，在这些城市中有路牌，路牌上面标了从这个城市出发周游这个国家路程的最小值，每个城市可以经过多次。证明任意两个城市路牌上的数值之比不超过 3:2
