1、2008-2012 年广东高考圆锥曲线命题走向应用数学 （广东惠州学院）摘要：本文以20082012年广东高考圆锥曲线题作为研究对象，结合圆锥曲线命题特点，采用比较分析法，对这些年的圆锥曲线高考题圆锥曲线进行比较研究和剖析，揭示高考试题的命题规律和走向，从而进一步把握复习的重点和疑难点，增加高考得分点，并对广东高考圆锥曲线题的命题走向的揣测提供一定的参考。关键词：广东高考；圆锥曲线方程；命题走向Trends of Guangdong college Entrance conic section proposition between 2008-2012Abstract Cone curve i
2、s one of the important content of high school mathematics, and is also the hotspot and focus of the calendar year mathematics test. Based on 2008-2012 Guangdong college entrance examination conic problem as the research object, with conical section questions during these years Guangdong college entr
3、ance examination proposition as its main task, combining with the characteristics of conic proposition and adopts comparative analysis method, the research purpose is to conic conic curve over the years the university entrance exam questions a comparative study and analysis, reveals high test propos
4、ition rule and trend, so as to further grasp the review of the key and difficult points, increasing college entrance examination scores and conical section questions and the Guangdong college entrance examination proposition to provide certain reference of speculation.Keywords College Entrance Exam；
5、Conic problems；Proposition惠州学院 2013 届毕业论文11、引言1.1、选题缘由高中阶段所学习和研究的圆锥曲线主要包括三类：椭圆、双曲线和抛物线。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，也是高考数学科目中的重点内容之一。在近年的高考试题中，高考数学中对圆锥曲线的考查占的比例很大，常与方程、不等式、平面向量、导数等内容结合考查，内容综合，解法灵活。结合历届高考对本章的考查以及历届学生对本章的反映，此专题的基本特点是解题思路比较简单清晰，解题方法的规律性比较强，但是运算过程往往比较复杂，对学生运算能力，恒等变形能力，数形结合能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高。因此
6、，在很大程度上成为学生能力和心理上的一道难以逾越的障碍。我收集了近五年的广东高考数学试卷，对圆锥曲线部分进行对比研究和分析，并提出解题策略。1.2、本论文的研究方法对新课程标准进行解读，高中数学高考大纲的分析的基础上，本研究所有的方法主要有：1、文献法根据本课题研究的需要，对 20082012 年数学的高考圆锥曲线题（详见附录）进行收集和整理，同时通过在“中国知网” 、 “维普数据网” 、图书馆等搜索相关文献资料及其他相关数据，作为本文的主要理论依据。2、比较法根据本课题研究的需要，搜集整理了 20082012 年广东高考的圆锥曲线题，认真分析这 5 年来广东高考的圆锥曲线题，并对其出题方式、
7、提问方式、解答郑纯薇：2008-2012 年广东高考圆锥曲线命题走向2方式、难易度进行对比，为本课题的研究提供了一定的理论依据。2、 广东高考圆锥曲线命题走向的研究2.1、广东圆锥曲线内容的课程标准和考试大纲2003 年教育部颁布普通高中数学课程标准（实验），并于 2004 年秋在广东开始试行。表 2.11 课程标准要求理科生对圆锥曲线要达到以下要求圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线了解了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用定义，几何性质，标准方程理解能经历从具体情境中抽象出椭圆模型的过程双曲线的有关性质能经历从具体情境中抽象出抛物线模型的过程掌握用坐标法解决一些
8、与圆锥曲线相关的简单几何问题椭圆定义、标准方程、几何图形以及简单性质抛物线定义、标准方程、几何图形以及简单性质普通高等学校招生全国统一考试大纲（新课标试验版-理）中对圆锥曲线的掌握的程度的不同层次要求。惠州学院 2013 届毕业论文3表 2.12 考试大纲对圆锥曲线不同层次的要求圆锥曲线 椭圆 双曲线 抛物线了解了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界解决实际问题中的作用，了解圆锥曲线的简单应用了解双曲线的定义、几何图形和标准方程理解理解数形结合的思想双曲线的简单性质掌握椭圆定义、标准方程、几何图形及简单性质抛物线定义、标准方程、几何图形以及简单性质由两表可以看出：（1）对椭圆和抛物
9、线的最高要求都是达到掌握。而对双曲线最高层次要求是要达到理解，和以往对双曲线的要求降低了。（2）在课程标准中要求学生能用“坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单题目郑纯薇：2008-2012 年广东高考圆锥曲线命题走向4（例如直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题”,在考纲中并无提到，但在高考试题中仍然有体现出这一要求。2.2、20082012 年广东高考圆锥曲线题的类型收集这些年广东的高考圆锥曲线题，对其进行比较出题类型。表 2.21 广东的高考圆锥曲线试题的分析表年份 分值 题型解答题提问方式考查知识点文科14 分 1 道解答题 一题两问1、椭圆与抛物线结合，分别求其方程2、求动点的存在性200
10、8理科14 分 1 道解答题 一题两问1、椭圆与抛物线结合，分别求其方程2、求动点的存在性文科14 分 1 道解答题 一题三问1、圆与椭圆的结合，求椭圆的方程2、求三角形的面积3、求变动圆的存在性5 分 1 道填空题 1、求椭圆方程2009理科 14 分 1 道解答题 一题两问1、直线与抛物线结合，求抛物线轨迹方程2、求最小值惠州学院 2013 届毕业论文5文科5 分 1 道选择题1、求椭圆的离心率2010理科14 分 1 道解答题 一题两问1、 由双曲线知识引出求轨迹方程2、 求点的坐标文科5 分 1 道选择题1、考查抛物线知识点2011理科14 分 1 道解答题 一题两问1、由圆的知识点引
11、出求抛物线的轨迹2、求抛物线上的动点问题文科14 分 1 道解答题 一题两问1、求椭圆方程2、求直线方程2012理科14 分 1 道解答题 一题两问1、 求椭圆方程2、求动点的存在性2.3、2008-2012 年高考圆锥曲线题的设问分析2.31、圆锥曲线的出题特点分析从表一中, 我们可以发现 2008-2012 年高考解析几何试题有以下特点：(1)题型与分值： 在这 10 道广东高考圆锥曲线题中, 一般为 0-1 道选择题或填空题和一道解答题,分值占为 5-19 分,除 2010 年文科与 2011 年文科只有一道 5分的选择题外,其余均有解答题在倒数第二题或第三题位置上, 平均分值约 14郑
12、纯薇：2008-2012 年广东高考圆锥曲线命题走向6分。(2)选择题或填空题特点：主要考查内容为圆锥曲线的定义、标准方程、简单几何性质,等, 注重考查基础知识、基本方法。(3)解答题特点： 解答题一般设置成两问,第一问一般为求轨迹方程、圆锥曲线的标准方程; 第二问主要考查直线与圆锥曲线的位置关系、圆锥曲线与圆锥曲线位置关系这些热点内容, 围绕范围、最值、定值、存在性、直线与圆锥曲线的位置关系等设置问题。2.32、圆锥曲线的解答题提问方式分析解答题一般设置成二问，第一问一般是送分题，考查一般的基本性质及一些简单的计算问题，如对圆锥曲线及其相关概念的定义、性质和标准方程的理解和简单应用。第二问考
13、查的范围就比较广了，常与函数、不等式、三角形及面积最值等题型结合，难度就大大增加了，侧重考查解析几何的思想方法，灵活性比较强。下面具体的分析圆锥曲线的提问方式：（一）、第一问的提问方式：2008 年文科 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程2008 年理科 求满足条件的椭圆方程和抛物线方程2009 年文科 求椭圆 G 的方程2009 年理科 若点 Q是线段 AB的中点，试求线段 PQ的中点 M的轨迹方程2010 年理科 求直线 与 交点的轨迹 的方程1P2E2011 年理科 求 C 的圆心轨迹 L 的方程2012 年文科 求椭圆 的方程1惠州学院 2013 届毕业论文72012 年理科 求椭圆 C
14、 的方程分析：纵观以上几道题的第一问，我们可以看到有 5 道题是求圆锥曲线的标准方程，剩下的 3 道都是求一个动点的轨迹方程。自 2009 年至 2011 年，圆锥曲线的第一问的提问方式都是关于某一动点的轨迹方程，2012 年圆锥曲线的第一问提问方式又回归求圆锥曲线的标准方程。从题目的问题来看，基本上考查关于圆锥曲线的标准方程、定义和性质。关于轨迹方程这方面的求解，也是高考的常考点。在未来的圆锥曲线高考中，仍会考查点的轨迹方程。（二）、第二问的提问方式：2008年文理科设A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点 ，使得 为直角三角形？若存在，请指出共有几PAB个这样的点？并
15、说明理由（不必具体求出这些点的坐标）2009年文科 求 的面积21FK2009年理科 若曲线2251:40Gxay与D有公共点，试求 a的最小值.2010年理科若过点 的两条直线 和 与轨迹 都只有一个交点，(0,)1Hh1l2E且 ，求 的值12l2011年理科 已知点 且 P为L上动点，求354()5MF， ， （ ， 0） ，的最大值及此时点 P的坐标.PF郑纯薇：2008-2012 年广东高考圆锥曲线命题走向82012年文科设直线 同时与椭圆 和抛物线 : 相切 ， 求直线 的l1C24yxl方程.2012年理科在椭圆 C 上，是否存在点 M（m,n）使得直线 l： 与1nymx圆 O
16、： 相交于不同的两点 A、 B，且OAB 的面积最大？12yx若存在，求出点 M 的坐标及相对应的 OAB 的面积；若不存在，请说明理由。分析：纵观2008年至2012年的圆锥曲线考题的第二问，2008年考查了圆锥曲线上某一动点的存在性，2009年考查了线性代数的问题以及分类讨论的思想，2010年和2011年考查了某一定点的存在，求某一定点的值。2012年文科卷考查直线方程的方程，理科卷考查了某点的存在性使得某一三角形面积最大。从这几年的问题中可以看出，圆锥曲线的考点在越来越综合，不是单一的考查某一知识点及繁杂的计算。可以看出关于动点的存在性是高考的热点，在未来的圆锥曲线高考中，仍会考查这方面
17、的内容。2.4、 2008-2012 年高考圆锥曲线题的解题策略分析根据表1.21将近五年来圆锥曲线高考解答题归纳为以下5类：2.41、圆锥曲线基础知识的考查圆锥曲线的基础知识是历年高考的必考内容。主要看考查对象有标准方程、离心率、焦点、准线等基础知识。最近几年把几何性质和曲线的定义结合在一起考查成为热门题型。【例 1】：（2009 年理科)已知椭圆 的中心在坐标原点，长轴在 轴上，Gx离心率为 ，且 上一点到 的两个焦点的距离之和为 12，则椭圆 的方程32GG惠州学院 2013 届毕业论文9为 解：第一步：设椭圆 G 的方程为)0(12bayx第二步：根据题意，由椭圆的定义：平面内到两定点
18、 、 的距离之和等于常1F2数2a(大于 )的点的轨迹是椭圆。可以得出2a=12，a=612F第三步：由椭圆的离心率 e = ，可以解得a=6，c= , 23ac39273622cab所以， 椭圆G的方程为12yx【点评】：圆锥曲线的定义本身就是解题的重要方法，要注意定义的运用比如椭圆的定义：平面内到两定点 、 的距离之和等于常数 2a(大于1F2)的点的轨迹是椭圆对于它的定义我们要从两个方面来理解：一是如果12F有一个点 P 满足， + =2a(大于 )，则点 P 的轨迹是椭圆；二是如果1F2P12点 P 是椭圆上的一点，则它到两焦点的距离等于 2a2.42、轨迹方程的考查重点考查求轨迹的方法与技巧，建立在轨迹特征的基础上探求轨迹的其它性质及其它结论轨迹探求问题是解析几何中的重要内容，也是解析几何中的基础内容几乎对解析几何的考查都会与轨迹问题有关。求轨迹通常有四种方法：直接法、定义法、相关点法、参数法。【例1】（2009年理科）已知曲线 与直线 交于两点2:Cyx:20lxy和 ，且 记曲线 在点 和点 之间那一段 与线段(,)Axy(,)BxyABxABL所围成的平面区域（含边界）为 设点 是 上的任一点，且点 与D(,)PstLP
