1、1第一章 集合与常用逻辑用语一集合的概念与运算1.常用数集：自然数集 N；正整数集 N*(或 N )；整数集 Z；有理数集 Q；实数集 R.2.2.集合间的基本关系：A(B) B ABA是 的 真 子 集是 的 子 集 与 相 等不 是 的 子 集(1)A 是 B 的子集：集合 A 中的任意元素，都在集合 B，记为 AB( 或 BA)(2)A 是 B 的真子集：若 AB，且 AB， ，则说 A 是 B 的真子集.特殊的集合：空集，规定空集是任意一个集合的子集，是任何非空集合的真子集若 A 含有 n 个元素，则 A 的子集有 2n 个，A 的非空子集有 2n1 个，A 的非空真子集合有 2n2。
2、3集合的运算有三种：交集、并集、补集.(1)并集：AB集合 A 与 B 的所有元素构成，重复的只写一次 (2)交集：AB集合 A 与 B 的相同元素构成(3)补集： UA 集合 U 中除掉集合 A 中的元素构成BABAA二命题及其关系、充分条件与必要条件1.四种命题：原命题：若 P 则 q;否命题：若非 P 则非 q，条件和结论都要否定；逆命题：若 q 则 p,条件和结论交换位置；逆否命题：若非 q 则非 p,对原命题先逆再否.2充分条件、必要条件与充要条件(1)“若 p，则 q”形式的命题为真时，记作 pq，称 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件即：集合 A 是集合 B 的真子集
3、，那么集合 A 就是集合 B 的充分不必要条件，集合 B就是集合 A 的必要不充分条件 .(2)如果既有 pq，又有 qp，记作 pq，则 p 是 q 的充要 条件，q 也是 p 的充要条件. 即：集合 A 与集合 B 的相同，A 就是集合 B 的充要条件.三简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词1逻辑联结词是：“或” 、 “且” 、 “非”(1)“或” 、 “且” 、 “非”的含义：2“或”：只要满足一个就可以，等同于集合中的“交”运算.“且”：两个都要满足，等同于集合中的“并”运算.“非”：它的反面.成立的非是不出来，不成立的非是成立，等同于“补”运算.规律：pq 为真命题，只需 p，q 有
4、一个为真即可，pq 为真命题，必须 p，q 同时为真，若 P 为真， 则非 P 就假，若 P 为假，则非 P 就为真.2.全称量词与存在量词、全称命题与特称命题(1)短语“所有的” “任意一个”这样的词语，一般在指定的范围内都表示事物的全体，这样的词叫做全称量词，用符号“”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题全称命题“对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立”(2)短语“存在一个” “至少有一个”这样的词语，都是表示事物的个体或部分的词叫做存在量词并用符号“”表示含有存在量词的命题叫做特称命题特称命题“存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立”.3含有一个量词的命题的否定命题 命题的否定
5、对 M 中任意一个 x，有 p(x)成立存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)不成立存在 M 中的一个 x0，使 p(x0)成立对 M 中任意一个 x，有 p(x)不成立否命题、命题的否定的区别:否命题是条件和结论都要否定，命题的否定只否定结论，但是全称命题和特称命题的否定按特殊的模式：量词“ 存在和任意”要否定和结论要否定.p 或 q 的否定为：非 p 且非 q；p 且 q 的否定为非 p 或非 q.第二章 函数和导数1函数的性质：1.单调性：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1， x2，当 x1 x2时，若 f(x1) f(x2)，则 f(x)在区间 D 上是增函
6、数；若 f(x1) f(x2)，则 f(x)在区间 D 上是减函数p q pq pq 非 p真 真 真 真 假真 假 假 真 假假 真 假 真 真假 假 假 假 真3x1x2y=f(X)xyf(x ) f(x )oy=f(X)yxo x x2f(x ) f(x )1增函数 减函数2奇、偶函数(1)如果对 D 内的任意一个 x， f( x) f(x)，则这个函数叫做奇函数图象关于原点对称(2)如果对 D 内的任意一个 x， f( x) f(x)，则这个函数叫做偶函数图象关于 y 轴对称.奇函数图象 偶函数图象3周期性:于函数 y f(x)，如果存在一个非零常数 T，都有 f(x T) f(x)那
7、么就称函数 y f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期如正弦函数.二.常见函数的图像和性质：1、特殊幂函数（1.）一次函数：y=kx+b解析式 y=kx+b（k0 ） y=kx+b(k0)图象单调性 增函数 减函数定义域 R R值域 R R4（2.）二次函数： 2(0)yaxbc解析式 2(0)yaxbc图象 O x定义域 R R值域 2min4acby 2max4cby对称轴 直线 2bx顶点 4ac（ ， ）单调性 对称轴左边为减，右边为增 对称轴左边为增，右边为减（3.）反比例函数： (0)kyx解析式 (0)kyx图象 xy xy定义域 x|0x|0值域 yy对称性 关于原点对称
8、单调性 为减-+（ ， ） ， （ ， ） 为增-+（ ， ） ， （ ， ）2幂函数(1)幂函数的定义：形如 yx (R)的函数称为幂函数，其中 x 是自变量， 为常数(2)幂函数的图象52.指数函数（1）运算公式 na.； 当 n 为奇数时， a.当 n 为偶数时， |a|Error!(na) nan nan（2） 有理数指数幂正整数指数幂：a naa (nN *)零指数幂：a 01(a0)an个负整数指数幂：a p (a0，pN *)正分数指数幂：a (a0，m、n 1ap mn namN*，且 n1)负分数指数幂：a (a0，m、nN *，且 n1) mn 1amn 1nam0 的正分
9、数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义(3)有理数指数幂的性质a ras ars (a 0，r、s Q)(a r)sa rs(a0，r、sQ)(ab) r arbr(a0，b0，rQ )（3）指数函数 的图象与性质xyy ax a1 0a1图象定义域 R值域 (0，)过定点(0,1)底数、真数同范围对数值为正，底数、真数异范围对数值为负性质增函数 减函数3.对数函数 的图像与性质logbay(1)对数的性质6a xNxlog aN(a0，a1) ；log a10( a0，a 1)；log aa1(a0，a1)； alogaNN(a0，a1) ；log aamm(a0，a1)(2)对数的运
10、算性质如果 a0 且 a1，M0，N0，那么log a(MN) logaMlog aN；log a log aMlog aN；log aMnnlog aM(nR) MN(3)将以 10 为底的对数叫常用对数，记为 lg N，次 e2.718 28为底的对数叫自然对数，记作 ln N.(4)对数函数 的图像与性质logbaylogbaya1 0a1图象定义域：(0，)值域：R 过点(1,0)，即 x1 时，y 0log0(1)l()aaxlog(1)l0()aax性质在(0，)上是增函数 在(0，)上是减函数3函数图像变换：1、平移变换水平平移：y f(xa)(a0)的图象，可由 yf(x )的
11、图象向左() 或向 右()平移 a 个单位而得到竖直平移：y f(x)b(b0)的图象，可由 yf( x)的图象向上( )或向下()平移 b 个单位而得到2.伸缩变换y af(x)(a0)的图象，可将 y f(x)图象上每点的纵坐标伸(a1 时) 缩(a1 时)到原来的 a 倍y f(ax)(a0)的图象，可将 y f(x)的图象上每点的横坐标伸(a 1 时) 缩(a1 时)到原来的 .1a4导数1.几何意义：函数 f(x)在点 x0 处的导数 f( x0)的几何意义是曲线 yf(x) 上在点(x 0，f(x 0)处的切线的斜率相应地，切线方程为 yy 0f (x 0)(xx 0)2.基本初等
12、函数的导数公式01 xyO(,)lay01 xyO(,)xlog7若 f(x)c，则 f( x)0； 若 f(x)x n(nQ )，则 f(x)nx n1 ；若 f(x)sin x，则 f(x)cos_x； 若 f(x)cos x，则 f(x) sin _x；若 f(x)a x，则 f(x)a xln_a(a0 且 a1)；若 f(x)e x，则 f(x) e x； 若 f(x)log ax，则 f( x) (a0 且 a1)；1xln a若 f(x)ln x，则 f( x) .1x3导数的运算法则若 f(x )、g(x)存在，则有(1)f(x)g(x)f(x)g(x) ； (2)f(x)g(
13、x)f (x)g( x)f(x)g( x)；(3) (g(x)0) fxgx f xgx fxg xgx24.导数的应用（1）f(x) 0f(x )在(a，b)为增函数；f ( x)0f (x)在( a，b)为减函数（2）求函数单调区间的步骤：确定函数 f(x)的定义域；求导数 f(x )；由 f( x)0(f( x)0)解出相应的 x 的范围当 f( x)0 时，f( x)在相应 的区间上是增函数；当 f(x)0 时， f(x)在相应的区间上是减函数，还可以列表，写出函数的单调区间（3）导函数与原函数的区别和联系：导函数看符号，原函数对应的是单调.(4)函数的极值判断 f(x0)是极值的方法
14、如果在 x0 附近的左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极大值；如果在 x0 附近的左侧 f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值(5)求可导函数极值的步骤求 f(x) ；求方程 f(x )0 的根；检查 f(x) 在方程 f(x )0 的根左右值的符号如果左正右负，那么 f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么 f(x)在这个根处取得极小值，如果左右两侧符号一样，那么这个根不是极值点(6)极值的性质：极值点处的导数值等于 0.8第三章 三角函数一-任意角三角函数：1.是一个任意角，角 的终边上任意一点 P(x，y)，它与原点的距离为 r(r0)
15、 ，那么角 的正弦 sin = 余弦：cos = ，yr 2xxr 2正切：tan yx2同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin 2cos 21；(2)商数关系： tan .sin cos 3.象限角符号：三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦4.弧长公式：l| r，扇形面积公式：S 扇形 lr |r2.12 125.特殊角的三角函数值： 0 030450609018027sin 0 21231 0 cos 1 0 0tan0 31 3不存在 0 不存在cot 不存在 1 0 不存在 0二-三角公式1.诱导公式：与 有关的函数名不变，符合看象限，与 有关的函数
16、名要变，符号看象限；22.诱导公式的运用：(sin cos )212sin cos ；三角形中的诱导公式：sin(AB)sin C ，cos(AB)cos C，sin sin cos ，cos cos sin .(A2 B2) (2 C2) C2 (A2 B2) (2 C2) C23两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1) cos() cos_cos_sin_sin_；(2) cos()cos_cos_sin_sin_；(3) sin()sin_cos_cos_sin_；(4) sin()sin_cos_cos_sin_；9(5) tan() ；(6) tan() .tan tan 1 tan
17、tan tan tan 1 tan tan 2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1) sin 22sincos；(2) cos 2cos2sin2 2cos2112sin2；(3) tan 2 .2tan 1 tan23有关公式的逆用、变形等(1)cos2 ，sin2 ；1 cos 22 1 cos 22(2)1sin 2(sin cos )2,1sin 2 (sin cos )2，sin cos sin .2 (4)4函 (a，b， 为常数) ，可以化为 )或 )f(x)=acos inx2f(x)=asin (bx2f(=acos(bx，如：sin2si();4si3cos2in();3x3i
18、coin;6xx的最大值为 ，最小值为 ，周期为2f()=asi ()b2ab2-ab2三三角函数的图象与性质1三角函数的图象和性质函数性质 ysin x ycos x ytan x定义域 R R x|xk ，kZ2图象值域 1,1 1,1 R对称轴：xk (kZ )2 对称轴：xk(kZ)无对称轴对称性对称中心：(k ，0)(kZ )对称中心： 对称中心：10(k Z) (k 2，0)(kZ)(k2，0)周期 2 2 单调性单调增区间Error!，2k Error!(k Z)；单调减区间Error!，2k Error!(kZ)单调增区间2k ，2k(kZ) 单调减区间2k，2k (kZ )；
19、单调增区间Error!， kError!(kZ )奇偶性 奇 偶 奇2.正弦型函数 yAsin(x) 的图象及应用（1）用五点法画 yAsin(x) 一个周期内的简图时，要找五个特征点如下表所示x0 2 32 2 x 0 2 32 2yAsin(x) 0 A 0 A 0（2）函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x )的图象的步骤法一： 倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的图 象 左 移 1)sin(sinx)(xy )sin( xAy倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的法二： 图 象 左 移倍横 坐 标 缩 短 到 原 来 的 )i(sin1)(xy sn xyA倍纵 坐 标 伸 长 为 原 来 的重点：把 平移得到 ，要平移 个单位，1Asi(+)f2()i(+)gx21-=当 向左平移，当 向左平移；函数名是 cos 时也一样的道理；00若平移前后的函数名不同，则用下列公式先把名变相同：；sin(x+)=cos(x)2yAcos(x+)=sin(x)2y（3）应用yAsin(x)要为偶函数，则 ，yAcos(x)要为奇函数，则=
