1、,4.3 齐次线性方程组解的结构,本节所考虑的齐次线性方程组为,简记为,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,主要讨论 有非零解的情况。,1. 解的性质,(2) 由 有,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,1. 解的性质,2. 解空间,称之为齐次线性方程组的解空间，,解空间又称为 A 的零空间或者 A 的核。,线性方程组的解。,一、齐次线性方程组解的性质与解空间,记为,二、基础解系及其求法,(1) 线性无关；,满足：,(2) 的任何一个解都可以由,1. 基础解系,线性表出。,称 为方程组 的(一个)基础解系。,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,说明,一组基础解系，,其中 是任意常数。,(1)
2、 齐次线性方程组的基础解系就是其解空间的基，,因此基础解系是不惟一的。,(2) 一组基础解系中所含的解向量的个数是惟一的，,其个数即为解空间的维数。,(3) 如果 为齐次线性方程组 的,那么 的通解可表示为,不妨设 A 的前 r 个列向量线性无关，,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,于是 A 可化为,设齐次线性方程组的系数矩阵 A 的秩为,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,相应地，齐次线性方程组 等价(或同解)变形为,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,进一步改写为,由此得到方程组 A X = 0 的所有解为：,二、基
3、础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,令,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,即,因此 是方程组的一组基础解系。,注：具体对齐次线性方程组求解时，不一定非要明确地指出,基础解系，,只需按前面的求解过程完成即可。,二、基础解系及其求法,1. 基础解系,2. 基础解系的求法,3. 关于解空间的维数,解空间 的维数为：,无关的解都是它的(一个)基础解系。,(2) A X = 0 有非零解的充要条件是,则齐次线性方程组 A X = 0 的,(2) 由标准阶梯形得到方程组为,(3) 由此得到方程组的解：,
4、(4) 写成向量形式为:,解,故方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量。,由于,令自由未知量,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中 为任意常数。,解,两个线性无关的解向量。,其中 为自由未知量。,其基础解系中有,令自由未知量,得到方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,其中 为任意常数。,(1) 取,(2) 单位化,从而 B 的三个列线性相关，,故,当 时，,即 的基础解系中只含一个解向量，,因此,又由 A 中至少有一个 n - 1 阶子式不等于零，,故,即 的每一列都是线性齐次方程组 的解，,(本题在前面已经利用矩阵秩的不等式证明过),根据线性齐次方程组解空间的维数定理可得,即 的基础解系中只含一个解向量，,不妨设为,有,则 的每一列都是 的倍数，,由,由,(2) 由方程组 和 等价，有,(解空间相等),
