1、专题四不等式证明的五大方法,不等式的证明是数学中一类广泛的问题,在高考中占有重要位置,下面就不等式的证明方法作简要介绍.,方法一,综合法,思路点拨:(1)思路1,作差比较;思路2,构造对称不等式.,【例1】 (2015吉林省长春市高三质检)(1)已知a,b都是正数,且ab,求证:a3+b3a2b+ab2;,证明:(1)法一(a3+b3)-(a2b+ab2)=(a+b)(a-b)2.因为a,b都是正数,所以a+b0.又因为ab,所以(a-b)20.于是(a+b)(a-b)20,即(a3+b3)-(a2b+ab2)0所以a3+b3a2b+ab2.法二因为a,b为正数且ab,所以a3+ab22a2b
2、,b3+a2b2ab2,两不等式相加整理即得所证不等式.,思路点拨:(2)构造对称不等式.,方法总结 综合法是证明不等式的最基本方法,其关键是利用实数的性质、不等式的性质、已知的不等式等,根据已知条件进行推理,推导出所要证明的不等式.在综合法中有两个方法值得注意:(1)比较法(作差比较、作商比较);(2)构造轮换对称不等式,即如果不等式中的字母相互交换,不等式不变的不等式叫做轮换对称不等式,该类不等式可以考虑构造对称不等式加以证明.,方法二,分析法,【例2】 (2015陕西宝鸡九校联考)若实数x,y,z满足x2+4y2+z2=3,求证:|x+2y+z|3.思路点拨:根据分析法的推理形式进行证明
3、.证明:要证|x+2y+z|3,只需证明(x+2y+z)232,只需证明x2+4y2+z2+4xy+4yz+2xz9,因为x2+4y2+z2=3,只需证明4xy+4yz+2xz6,又因为x2+4y2+z2=3,只需证明4xy+4yz+2xz2x2+8y2+2z2,只需证明2x2+8y2+2z2-(4xy+4yz+2xz)0,只需证明x2-4xy+4y2+4y2-4yz+z2+z2-2xz+x20,即(x-2y)2+(2y-z)2+(z-x)20,该不等式显然成立,所以原不等式成立.,方法总结 分析法是证明已知条件简单、结论较为复杂的数学证明题的有效方法.使用分析法证明不等式的关键是根据不等式的
4、性质、已知不等式等,从结论出发导出已知条件中的不等式、已知的不等式、明显的数学事实.,方法三,放缩法,思路点拨:(1)使用正弦定理把求证目标化为三角函数的不等式;,(2)已知a2+b2=1,x2+y2=4,求证:|ax+by|2.,思路点拨:(2)三角换元后,利用三角函数的有界性放缩.,方法总结 一些含有三角函数的不等式、或者通过换元能够化为三角函数的不等式,可以根据正弦函数、余弦函数的有界性进行放缩.,思路点拨:利用基本不等式和已知条件,通过使用基本不等式放缩完成证明.,证明:(1)因为(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2aca2+b2+c2+(a2+b2)+(b2+c2)
5、+(a2+c2)=3(a2+b2+c2)=9,所以|a+b+c|3,所以a+b+c3.,方法总结 证明过程中利用均值不等式等重要不等式进行放缩是证明不等式的基本方法之一,这也是重要不等式的主要应用领域.,方法总结 使用不等式的性质放缩不等式中项,使之能够产生裂项相消的部分是证明与正整数的和式有关的不等式的基本思考途径.,方法四,反证法,方法总结 反证法对已知条件较少、结论情况较多,或者结论是否定形式给出、结论是唯一性等命题的证明非常有效.,方法五,导数法(构造函数法),思路点拨:(1)利用x,y的大小关系,转化为函数的单调性的证明;,(3)(2015福建省高中毕业班质检)已知函数f(x)=ex
6、-x-m(m1).证明:函数f(x)有两个零点x1,x2且x1+x20.,思路点拨:(3)有零点的证明,利用函数的单调性和零点定理进行证明,x1+x20,即x1-x2,只要构造一个函数,证明该函数的单调性,即可根据函数值的不等关系确定上述变量间的不等关系.,方法总结 函数的单调性可以比较一个范围内的函数值与某个函数值的大小关系,也可以根据函数值的大小比较自变量的大小,通过构造函数,研究函数的单调性得出不等式是函数类不等式证明最基本的方法.,类型2.函数最值法【例8】 (2015黑龙江省大庆市二模)已知函数f(x)=(x-2)ex,求证:对任意x1,x20,2,都有|f(x1)-f(x2)|e.
7、思路点拨:只要证明f(x)max-f(x)mine即可.证明:(1)f(x)=(x-1)ex,f(x)在0,1)单调递减,在(1,2单调递增,所以f(x)min=f(1)=-e;f(0)-f(2)=-2f(x0).,方法总结 证明函数问题中双变量不等式的最基本的方法是把其化为单变量不等式,化解的方法主要有:(1)利用函数单调性,固定其中一个变量为常数,让另一个为变量,构造函数,然后研究函数性质(主要是单调性)后得出所证不等式;(2)利用如果a,b为实数,且b0,则存在唯一的实数t使得a=tb(向量中有类似结论)把双变量不等式化为单变量不等式.不等式的证明不止上述方法,如构造法、数学归纳法等.,
