1、School of Information Science and Engineering,第十八章 匹配与着色,主要内容二部图二部图中的匹配点着色地图着色与平面图的点着色边着色,School of Information Science and Engineering,18.1 二部图,定义1 设 G=为一个无向图，若能将 V分成 V1和V2(V1V2=V，V1V2=)，使得 G 中的每条边的两个端点都是一个属于V1，另一个属于V2，则称 G 为二部图 ( 或称二分图、偶图等 )，称V1和V2为互补顶点子集，常将二部图G记为. 又若G是简单二部图，V1中每个顶点均与V2中所有的顶点相邻，则称
2、G为完全二部图，记为 Kr,s，其中r=|V1|，s=|V2|. 注意，n 阶零图为二部图.,School of Information Science and Engineering,二部图的判别法,判定定理 无向图G=是二部图当且仅当G中无长度为奇数的圈。 由定理可知下图中各图都是二部图，哪些是完全二部图？哪些图是同构的？,School of Information Science and Engineering,定义2 设简单无向图G=, E*E，(1) 匹配(边独立集)E*E*中各边均不相邻(2) 极大匹配E*E*中不能再加其他边了(3) 最大匹配边数最多的匹配(4) 匹配数最大匹配中
3、的边数，记为1,上图中各图的匹配数依次为3, 3, 4.,18.2 二部图中的匹配,School of Information Science and Engineering,关于匹配中的其他概念,定义3 设M为G中一个匹配.(1) vi 与vj 被M匹配(vi,vj)M(2) v为M饱和点有M中边与v关联(3) v为M非饱和点无M中边与v关联(4) M为完美匹配G中无M非饱和点(5) M的交错路径从M与EM中交替取边构成的G中路径(6) M的可增广交错路径起、终点都是M非饱和点的交错路径(7) M的交错圈由M与EM中的边交替出现构成的G中圈,上图中，只有第一个图存在完美匹配,School o
4、f Information Science and Engineering,18.2 二部图中的匹配,定义4 设G=为二部图，|V1|V2|，M是G中最大匹配，若V1中顶点全是M饱和点，则称M为G中完备匹配. |V1|=|V2| 时完备匹配变成完美匹配.,图中，红边组成各图的一个匹配，(1)中为完备匹配，(2)中匹配不是完备的，(2)中无完备匹配，(3)中匹配是完备的，也是完美的.,(1) (2) (3),School of Information Science and Engineering,Hall定理,定理18.5 （Hall定理）设二部图G=中，|V1|V2|. G中存在从V1到V2
5、的完备匹配当且仅当V1中任意k(k=1,2,|V1|)个顶点至少与V2中的k个顶点相邻.本定理中的条件常称为“相异性条件”. 由Hall定理立刻可知，上图中(2)为什么没有完备匹配.定理18.6 设二部图G=中，V1中每个顶点至少关联t (t1)条边，而V2中每个顶点至多关联 t 条边，则G 中存在V1到V2的完备匹配. 定理18.6中的条件称为 t（t1）条件.,School of Information Science and Engineering,18.2 二部图中的匹配,求匹配算法:设G0=是二部图,置初值: V1=V0 E1= G1=G0 如果G1是零图, 则结束,得E1. 否则
6、在V1中选取度最小的结点, 不妨设这 个结点射a, 且与a相邻接的一个结点为b, 取边(a,b) , E1=E1(a,b) 从图G1中删去结点a,b . (即 V1=V1 -a,b), 得到图G1转到.,School of Information Science and Engineering,对于右图，执行算法:a) 度数最小的结点是 c , E1=(B,c)b)度数最小的结点是 d , E1=(B,c),(A,d)c)度数最小的结点是 a , E1=(B,c),(A,d)(C,a)d)度数最小的结点是 b , E1=(B,c),(A,d),(C,a),(D,b)当然执行此算法,不一定得到所
7、有匹配.可见下面也都是匹配,18.2 二部图中的匹配,School of Information Science and Engineering,一个应用实例,某课题组要从a, b, c, d, e 5人中派3人分别到上海、广州、香港去开会. 已知a只想去上海，b只想去广州，c, d, e都表示想去广州或香港. 问该课题组在满足个人要求的条件下，共有几种派遣方案？,解 用二部图中的匹配理论解本题方便.令G=，其中V1=s, g, x，s, g, x分别表示上海、广州和香港. V2=a, b, c, d, e, E=(u,v) | uV1, vV2, v想去u. G如图所示.,G满足相异性条件，
8、因而可派遣，共有9种派遣方案(请给出这9种方案).,School of Information Science and Engineering,18.3 点着色,定义5 (1) 图无向无环G的一种点着色给图G的每个顶点涂上一种颜色，使相邻顶点具有不同颜色(2) 对G进行k着色（G是k-可着色的）能用k种颜色给G的顶点着色(3) G的色数(G)=kG是k-可着色的，但不是(k1)-可着色的.,School of Information Science and Engineering,关于顶点着色的几个简单结果,定理: (1) (G)=1当且仅当G为零图 (2) (Kn)=n (3) 若G为奇阶轮
9、图，则(G)=3，若G为偶阶轮图，则(G)=4. (4)若G的边集非空，则(G)=2当且仅当G为二部图.,上述各图中，色数分别为2，3，4，5，为什么？,School of Information Science and Engineering,对G着色方法 (韦尔奇.鲍威尔法 Welch.Powell) :将G中的结点按照度数递减次序排序，(此排序可能不唯一,因为可能有些结点的度数相同)。用第一种颜色对第一个结点着色，并按照排序,对与前面着色点不邻接的每一个点着上相同颜色。用另一种颜色对尚未着色的点, 重复执行和，直到所有结点都着上颜色为止。,例: 结点排序:A,B,E,F,H,D,G,C结
10、点度数:5, 5, 4,4, 3, 3, 2,着色方法,School of Information Science and Engineering,色数的上界,定理18.7* 对于任意无环图G，均有 (G) (G)+1证明线索：对G的阶数n做归纳.定理18.8* 若连通无向图G不是Kn,（n3），也不含长度为奇数的圈，则 (G) (G)定理18.8称为Brooks定理.,School of Information Science and Engineering,18.4 地图着色与平面图的点着色,定义6 (1) 地图连通无桥平面图（嵌入）与所有的面(2) 国家地图的面(3) 两个国家相邻它们的
11、边界至少有一条公共边,在上图的地图中，有5个国家，其中1与2相邻，1与4相邻，2,3,4均与5相邻.,School of Information Science and Engineering,地图的面着色,定义7(1) 地图G的面着色对G的每个国家涂上一种颜色，相邻国家涂不同颜色(2) G是k-面可着色的能用k种颜色给G的面着色(3) G的面色数*(G)=k最少用k种颜色给G的面着色.,地图的面着色转化成对偶图的点着色定理18.9 地图G是k-面可着色的当且仅当它的对偶图G*是k-点可着色的. 证明简单,五色定理定理18.10 (四色定理) 任何平面图都是4-可着色的.,School of
12、Information Science and Engineering,18.5 边着色(无环无向图),定义8 (1) 对G的边着色每条边着一种颜色，相邻的边不同色(2) G是k-边可着色的能用k种颜色给G的边着色(3) G的边色数(G)最少用k种颜色给G的边着色,定理18.11 (Vizing定理 )G为简单平面图，则 (G) (G) (G)+1.,定理18.12 (Wn) = n1, n4. 定理18.13 二部图的边色数等于最大度.定理18.14 n为奇数（n1）时，(Kn)=n； n为偶数时， (Kn)=n1.,School of Information Science and Eng
13、ineering,第十八章 习题课,主要内容二部图、匹配（边独立集）二部图中的完备匹配图的点着色、边着色、地图着色基本要求深刻理解匹配、点着色、边着色、面着色、色数等概念会用二部图中匹配的理论解简单问题理解并记住地图面着色与它的对偶图点着色之间的关系会用点色数及边色数解决一些实际问题.,School of Information Science and Engineering,练习1,问：G中有完美匹配吗？为什么？求匹配数1,1无向图G如下所示.,School of Information Science and Engineering,练习2,2. 彼得松图如下图所示：,在图上给出一个最大匹
14、配，从而求出1,School of Information Science and Engineering,练习3,3. 求图的点色数 , 边色数 , 以及面色数 *.,解 (1) 因为G中含奇圈，所以3，由布鲁克斯定理知 =4, 又容易证明不能用3种颜色涂色：由于a, b, c 彼此相邻，因而至少用3种颜色涂色，设用颜色, , 分别给a, b, c 涂色. 此时最少还用这三种颜色给d, e, f 涂色，而且d, e, f也只能用颜色 , 和，这样g只能用另一种颜色，比如 涂色，所以 =4.,School of Information Science and Engineering,(2) 由
15、维津（Vizing）定理可知=4或5，但可用4种颜色给边涂色，如图所示.,练习3,School of Information Science and Engineering,图20,图19,(3) 易知图的对偶图为图(1)所示，容易证明它的点色数为4，所以图17的面色数*=4，见图(2)所示.,(1) (2),练习3,School of Information Science and Engineering,4. 设G为3-正则的哈密顿图，证明(G)=3.,练习4,证 用维津定理及握手定理即可证.由维津定理知 3 = (G) (G) (G)+1 = 4. 下面只需证可用3种颜色给G的边着色.
16、设C为G中的哈密顿回路，则C为偶圈(3n=2m)，所以用两种颜色可给C的边着色. G中不在C上的边彼此不邻(为什么？)，因而用第3种颜色给它们着色即可。,School of Information Science and Engineering,练习5,5. 某校计算机系三年级学生在本学期共选6门选修课Ci, i=1, 2, , 6. 设S(Ci)为选Ci课的学生集. 已知 S(Ci)S(C6) , i=1, 2, , 5， S(Ci)S(Ci+1) , i=1, 2, 3, 4， S(C5)S(C1) . 问这6门课至少几天能考完？,School of Information Science and Engineering,解,解答,由已知条件做无向图G=，其中 V=C1, C2, , C6， E=(Ci,Cj)| S(Ci)S(Cj)，如图所示W6. 给G一种着色(点着色)， Ci与Cj着同色 Ci与Cj不相邻 没有学生既学Ci又学Cj Ci与Cj可同时考. 于是最少的考试时间为(G)=4（见定理17.21）,
