1、3.1.3空间向量的 数量积运算,一、引入,1.共线向量定理：,2.共线向量定理的推论：(1)若直线l过点A且与向量 平行，则(2)三点P、A、B共线的充要条件有：,3.共面向量定理：,4.P、A、B、C四点共面充要条件：,一、两个向量的夹角,两条相交直线的夹角是指这两条直线所成的锐角或直角，即取值范围是(0,90,而向量的夹角可以是钝角,其取值范围是0,180,B,A,一、空间向量数量积的定义,已知空间两个非零向量 , 则叫做 的数量积，记作 , 即,注意: 两个向量的数量积是数量，而不是向量. 规定:零向量与任意向量的数量积等于零.,不一定为锐角,不一定为钝角,三、空间两个向量的数量积的性
2、质,(1)空间向量的数量积具有和平面向量的数量积完全相 同的性质.(2)性质(2)是用来判断两个向量是否垂直，性质(5)是 用来求两个向量的夹角(3)性质(3)是实数与向量之间转化的依据,空间向量数量积可以解决的立体几何问题：,3）向量的夹角（两异面直线所成的角）；,2）证明垂直问题；,1）线段的长（两点间的距离）；,，也就是说,四、空间向量数量积的运算律,与平面向量一样，空间向量的数量积满足如下运算律：,向量数量积的运算适合乘法结合律吗?即(ab)c一定等于a(bc)吗?,已知空间向量a，b满足|a|=4，|b|=8，a与b的夹角是150，计算：(1)(a+2b)(2n-b)；(2)|4a一
3、2b|,如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点。求下列向量的数量积：,练习1,A,B,C,D,E,F,G,在平行四边形ABCD中，AB=AC=1，ACD=90，将它沿对角线AC折起，使AB与CD成60角，求B，D间的距离,练习2,练习3,解：,已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若AB=OC，求证：PMQN,证明：,练习4,练习5,如图，在正三棱柱 中，若 ，则 与 所成的角的大小为（ ） A. B. C. D.,证明：,如图,已知:,求证：,在直线l上取向量 ,只要证,为,逆命题成立吗?,分析:
4、同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.,分析：要证明一条直线与一个平面垂直,由直线与平面垂直的定义可知,就是要证明这条直线与平面内的任意一条直线都垂直.,例2:(试用向量方法证明直线与平面垂直的判定定理) 已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,如果 m, n,求证: .,m,n,取已知平面内的任一条直线 g ,拿相关直线的方向向量来分析,看条件可以转化为向量的什么条件?要证的目标可以转化为向量的什么目标?怎样建立向量的条件与向量的目标的联系?,共面向量定理.,例2:已知直线m ,n是平面 内的两条相交直线,如果 m, n,求证: .,小 结： 通过学习,体会到我们可以利用向量数量积解决立体几何中的以下问题： 1、证明两直线垂直; 2、求两点之间的距离或线段长度; 3、证明线面垂直; 4、求两直线所成角的余弦值等等.,
