1、1,2.5 介质中的高斯定律 边界条件,一、介质中的高斯定理,介质的极化过程包括两个方面：1)外加电场的作用使介质极化，产生极化电荷；2)极化电荷反过来激发电场，两者相互制约，并达到平衡状态。3)无论是自由电荷，还是极化电荷，它们都激发电场，服从同样的库仑定律和高斯定理。,真空中，,自由电荷是激发静电场的源,1.介质中静电场的基本方程,2,2,根据叠加原理，介质中的总场仍是无旋的。即,故可引入标量电位,自由电荷：,介质被极化极化电荷：,介质空间中电场：,介质空间外加电场 ，实际电场为 ，变化与介质性质有关。,3,2)介质极化后，介质中的静电场是自由电荷与极化电荷共同激发的，根据高斯定律，有：,
2、定义一个新矢量：,介质中的高斯定理,根据散度定理，有,结论：穿过任意封闭曲面的电通量，只与曲面中包围的自由 电荷有关，而与介质的极化状况无关。,电位移矢量,4,介质中静电场的基本方程为：,积分形式,微分形式,介质中静电场仍为有源无旋场。,极化强度 与电场强度 之间的关系由介质的性质决定。对于线性各向同性介质， 和 有简单的线性关系,5,称为介质的介电常数,已知电极化率e为正实数，因此，一切介质的介电常数均大于真空的介电常数。,实际中经常使用介电常数的相对值，这种相对值称为相对介电常数，以r表示，其定义为,可见，任何介质的相对介电常数总是大于1。下表给出了几种介质的相对介电常数的近似值。,6,在
3、真空中，,，,7,计算技巧：,a） 分析场分布的对称性，判断能否用高斯定律 求解。,b）选择适当的闭合面作为高斯面，使 中的 D 可作为常数提出积分号外。,高斯定律适用于任何情况，但仅具有一定对称性的场才有解析解。,3.高斯定律的应用,8,4.介质中的电位方程,在均匀、各向同性、线性媒质中（ 为常数）,介质中的泊松方程,媒质,线性媒质：媒质参数不随电场的值而变化，反之，称为非线性媒质；,均匀媒质：媒质参数不随空间坐标而变化，反之，称为非均匀媒质；,各向同性媒质：媒质特性不随电场的方向改变,反之，称为各向异性媒质。,介质中的拉普拉斯方程,9,例1：已知半径为a，介电常数为 的介质球带电荷为q，球
4、外为空气，分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布：1）电荷q均匀分布在球体内；2）电荷q集中在球心；3）电荷q均匀分布在球面上。,解：1）电荷q均匀分布在球体内时，电场分布为,10,介质球内，极化电荷分布为,球坐标中，,r=a的球面上，,11,处，,r=0处为电场的奇异点，该处应有一极化点电荷，设此极化点电荷为qP，根据高斯定理，有,2）电荷q集中在球心时，电场分布为,在r=a的球面上，,12,取S为以介质球心为中心，r(ra) 为半径的球面，,介质球内，,在r=a的球面上，,3）电荷q均匀分布在球面上时，电场分布为,13,其中 为一常数。1)计算束缚电荷体密度和面密度；2)计
5、算自由电荷体密度；3)计算球内、外的电场和电位分布。,例2:一个半径为 、介电常数为 的均匀介质球内的极化强度为,在的球面上，束缚电荷面密度为,解：1)介质球内的束缚电荷体密度为,14,2)由于,，所以,即,总的自由电荷量,由此得到介质球内的自由电荷体密度为,15,3）介质球内、外的电场强度分别为,介质球内、外的电位分别为,16,三、静电场的边界条件,介质特性突变,场突变,边界条件：揭示介质两边电场之间的联系。,1、 的边界条件,如图，柱形面上、下底面积S很小，故穿过截面S的电通量密度可视为常数，假设柱形面的高h0，则其侧面积可以忽略不计。,设分界面上存在的自由面电荷密度为 ，由高斯定理,17
6、,说明：1) 为分界面上自由电荷面密度，不包括自由极化电荷。,2）若媒质为理想媒质，则,结论：若边界面上不存在自由电荷，则 法向连续。,18,2、 的边界条件,由于静电场是保守场，将这一结论应用于穿越媒质分界面的矩形闭合路径abcda，如图所示。,当h0时bc和da对积分的贡献可忽略不计，因此有,19,上式表明：分界面上电场强度的切向分量总是连续的。,因回路是任取的，对于不同的s取向，上式总是成立的，故有,20,3、 折射定律,在理想媒质分界面上， 。设分界面两侧的电场与法线 的夹角分别为1和2，则有：,在两种不同介质的分界面上，电场强度 和电位移矢量 一定会改变方向，只有当1或2等于零时，分
7、界面上的电场方向才不改变，像平行板、同轴线和同心球中的电场就是这种情况。,折射定律,21,4、电位的边界条件,设 P1 与 P2 位于分界面两侧，,由 ，其中,22,5、导体表面上的边值关系,由边界面上的边界条件得,在分解面介质一侧，有,（2）导体表面上任一点的 Dn等于该点的 。,说明 （1）导体表面是等位面， 线与导体表面垂直；,23,应用高斯定理求解边值问题步骤：,1)根据电荷分布，判断电场方向；,2)判断电场方向与边界面关系（垂直或相切）；,3)应用边界条件，判断是 连续还是 连续。,4)应用高斯公式求解，一般用 求解,24,分析：电场方向沿径向，在介质1和介质2的分界面上，电场平行于
8、介质分界面，由边界条件可知:,解：1)由高斯定律,例3：球形电容器内导体半径为a，外球壳半径为b。其间充满介电常数为 和 的两种均匀媒质。设内导体带电荷为q，外球壳接地，求球壳间的电场和电位分布。1)两球壳间的电场和电位分布；2)极化电荷分布；3)导体表面上的自由电荷面密度。,25,2）介质中的极化强度,26,介质内的体极化电荷密度为,介质内表面上的面极化电荷密度为,介质外表面上的面极化电荷密度为,27,3)内导体表面上自由电荷面密度为,外导体的内表面上自由电荷面密度为,在两种介质的分界面上,28,例4：同轴线内导体半径为a，外导体半径为b。内外导体间充满介电常数分别为 和 的两种理想介质，分界面半径为c。已知外导体接地，内导体电压为U。求:(1)导体间的 和 分布； (2)同轴线单位长度的电容,分析：电场方向垂直于边界，由边界条件可知，在媒质两边 连续,解：设内导体单位长度带电量为,由高斯定律，可以求得两边媒质中，,29,30,（2）同轴线单位长度带电量为 ，故单位长度电容为,31,练习：证明：,32,33,
