1、指数与指数函数,一、整数指数幂的运算性质,二、根式的概念,如果一个数的 n 次方等于 a(n1 且 nN*), 那么这个数叫做 a 的 n 次方根. 即: 若 xn=a, 则 x 叫做 a 的 n 次方根, 其中 n1且 nN*.,(1)aman=am+n (m, nZ);,(2)aman=am-n (a0, m, nZ);,(3)(am)n=amn (m, nZ);,(4)(ab)n=anbn (nZ).,三、根式的性质,5.负数没有偶次方根.,6.零的任何次方根都是零.,五、有理数指数幂的运算性质,四、分数指数幂的意义,注: 0 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义.,函数
2、 y=ax(a0, 且a1)叫做指数函数, 其中 x 是自变量, 函数的定义域是 R.,六、指数函数,(1)aras=ar+s (a0, r, sQ);,(2)aras=ar-s (a0, r, sQ);,(3)(ar)s=ars (a0, r, sQ);,(4)(ab)r=arbr (a0, b0, rQ).,(1) 定义域: R,(2) 值 域: (0, +),(3) 过点(0, 1), 即 x=0 时, y=1.,(4) 在 R 上是增函数.,(4) 在 R 上是减函数.,七、指数函数的图象和性质,课堂练习,C,A,D,D,C,典型例题,1.化简下列各式:,=xy.,a-10.,2.已知
3、 2x+2-x=5, 求下列各式的值: (1) 4x+4-x; (2) 8x+8-x.,解: (1) 4x+4-x=(2x+2-x)2-22x 2-x,(2) 8x+8-x=(2x+2-x)3-32x 2-x(2x+2-x),=25-2=23;,=125-15=110.,3.已知 2a 5b=2c 5d=10, 求证: (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1).,证: 由已知 2a 5b=10=2 5, 2c 5d=10=2 5, 2a-1 5b-1=1, 2c-1 5d-1=1., 2(a-1)(d-1) 5(b-1)(d-1) =1, 2(c-1)(b-1) 5(d-1)(b-1) =1
4、., 2(a-1)(d-1)=2(c-1)(b-1)., (a-1)(d-1)=(b-1)(c-1)., 2(a-1)(d-1) 5(b-1)(d-1) =2(c-1)(b-1) 5(d-1)(b-1).,4.若关于 x 的方程 2a2x-2-7ax-1+3=0 有一个根是 x=2, 求 a 的值并求方程其余的根.,t2-2xt+1=0,解法二: 将已知式整理得:,以下同上.,6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 0, 1. (1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x)
5、 的值域.,f(a+2)=3a+2=18.,解: (1)f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2,3a=2.,g(x)=(3a)x-4x=2x-4x.,即 g(x)=2x-4x.,(2)令 t=2x, 则函数 g(x) 由 y=t-t2 及 t=2x 复合而得.,由已知 x0, 1, 则 t1, 2,t=2x 在 0, 1 上单调递增, y=t-t2 在 1, 2 上单调递减,g(x) 在 0, 1 上单调递减, 证明如下:,g(x) 的定义域区间 0, 1 为函数的单调递减区间.,对于任意的 x1, x20, 1, 且 x1x2,g(x1)-g(x2),0x1x21,2x1-2x20 且
6、1-2x1-2x2g(x2).,故函数 g(x) 在 0, 1 上单调递减.,=(2x1-4x1)-(2x2-4x2),=(2x1-2x2)-(2x1-2x2)(2x1+2x2),=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2),=(2x1-2x2)(1-2x1-2x2)0., x0, 1 时有:,解: (3)g(x) 在 0, 1 上单调递减,g(1)g(x)g(0).,g(1)=21-41=-2, g(0)=20-40=0, -2g(x)0 .,故函数 g(x) 的值域为 -2, 0.,6.已知函数 f(x)=3x 且 f-1(18)=a+2, g(x)=3ax-4x 的定义域为 0, 1. (
7、1)求 g(x) 的解析式; (2)求 g(x) 的单调区间, 确定其增减性并用定义证明; (3)求 g(x) 的值域.,解: (1) f(x) 是 R 上的奇函数,f(0)=0,a2=1.,a0,a=1.,(2)由 (1) 知 f(x)=ex-e-x, xR, f(x)R., f(x) 是奇函数, f(x) 的反函数 f-1(x) 也是奇函数., y=e-x 是 R 上的减函数, y=-e-x 是 R 上的增函数.,又 y=ex 是 R 上的增函数, y=ex -e-x 是 R 上的增函数., f(x) 的反函数 f-1(x) 也是 R 上的增函数.,综上所述, f-1(x) 是奇函数, 且是 R 上的增函数.,此时, f(x)=ex-e-x是 R 上的奇函数.,a=1 即为所求.,
