1、第三节 函数的基本性质,一、有界性二、单调性三、奇偶性四、周期性,一、有界性,设函数y=f(x)的在集合内有定义，如果存在正数M，使得对于任意的 ，都有,成立，则称f (x)在内有界，或称f (x)为内的有界函数，如果这样的M不存在，就称函数f(x)在内无界.,如果M为f(x)的一个界，易知比M大的任何一个正数都是f(x)的界.,如果f(x)在内无界，那么对于任意一个给定的正数M，中总有相应的点 ，使得 .,当函数y=f(x)在区间a,b上有界时，函数y=f(x)的图形恰好位于直线y=M和y= 之间.,这里取=1.函数y=sinx的图形位于直线y=1与y= 1之间.,例如，函数f(x)=sin
2、x在 内是有界的. 这是因为对于任意的 ， 都有 成立，,应该注意，函数的有界性，不仅仅要注意函数的特点，还要注意自变量的变化范围.,例如，函数 在区间(1,2)内是有界的.,事实上，若取=1，则对于任何,而 在区间(0,1)内是无界的.,二、单调性,设函数y=f(x)在区间I上有定义(即是函数y=f(x)的定义域或者是定义域的一部分).如果对于任意的 ，当 时，均有,则称函数y=f(x)在区间上单调增加(或单调减少).,严格单调增加的函数的图形是沿x 轴正向上升的；,严格单调减少的函数的图形是沿x 轴正向下降的；,例如，函数 内是严格单调增加的.,函数 内是严格单调减少的，在区间 上是严格单调增加的,而在区间 内则不是单调函数.,三、奇偶性,设函数y=f(x)的定义域D是关于原点对称的，即当 时，有 .,则称f(x)为偶函数，偶函数的图形关于y轴对称；,如果对于任意的 ，均有,如果对任意的 ,均有,就称函数f(x)为奇函数.奇函数的图形关于坐标原点对称.,例1 讨论下列函数的奇偶性:,解,设函数y=f (x)在内有定义, 如果存在正常数 T,使得对于内的任何x，恒有 f (x + T)=f (x),四、周期性,例如，函数y=sin x及y=cos x都是以 为周期的周期函数；,函数y=tan x及y=cot x都是以 为周期的周期函数.,解 设所求的周期为T，由于,例2,
