1、2018/7/2,辗转相除法与更相减损术,算 法 案 例,第一课时,2018/7/2,1. 回顾算法的三种表示方法：,（1）、自然语言,（2）、程序框图,（3）、程序语言,（三种逻辑结构）,（五种基本语句）,复习引入,2018/7/2,2. 思考：,小学学过的求两个数的最大公约数的方法？,先用两个公有的质因数连续去除，一直除到所得的商是互质数为止，然后把所有的除数连乘起来.,2018/7/2,例：求下面两个正整数的最大公约数：,（1）求25和35的最大公约数（2）求49和63的最大公约数,所以，25和35的最大公约数为5,所以，49和63的最大公约数为7,思考：除了用这种方法外还有没有其它方法
2、？,例：如何算出8251和6105的最大公约数？,2018/7/2,新课讲解：,一、辗转相除法（欧几里得算法）,1、定义： 所谓辗转相除法，就是对于给定的两个数，用较大的数除以较小的数。若余数不为零，则将余数和较小的数构成新的一对数，继续上面的除法，直到大数被小数除尽，则这时较小的数就是原来两个数的最大公约数。,2018/7/2,2、步骤： （以求8251和6105的最大公约数的过程为例）,第一步 用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=61051+2146,结论： 8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和214
3、6的公约数就可以了。,第二步 对6105和2146重复第一步的做法6105=21462+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。,为什么呢？,思考：从上述的过程你体会到了什么？,2018/7/2,完整的过程,8251=61051+2146,6105=21462+1813,2146=18131+333,1813=3335+148,333=1482+37,148=374+0,例： 用辗转相除法求225和135的最大公约数,225=1351+90,135=901+45,90=452,显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数,显然4
4、5是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数,思考1：从上面的两个例子中可以看出计算的规律是什么？,S1：用大数除以小数,S2：除数变成被除数，余数变成除数,S3：重复S1，直到余数为0,2018/7/2,辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0才停止的步骤，这实际上是一个循环结构。,m = n q r,用程序框图表示出右边的过程,r=m MOD n,m = n,n = r,r=0?,是,否,思考2：辗转相除法中的关键步骤是哪种逻辑结构？,2018/7/2,思考：你能把辗转相除法编成一个计算机程序吗？,(1)、算法步骤：,第一步：输入两个正整数m,n(mn).第二步：计算m除以n
5、所得的余数r.第三步：m=n,n=r.第四步：若r0,则m,n的最大公约数等于m； 否则转到第二步. 第五步：输出最大公约数m.,2018/7/2,(2)、程序框图：,2018/7/2,(3)、程序：,INPUT “m,n=“;m,nDO r=m MOD n m=n n=rLOOP UNTIL r=0PRINT mEND,2018/7/2,二、更相减损术,可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。,第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是则执行第二步。,第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数
6、减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数就是所求的最大公约数。,（1）、九章算术中的更相减损术：,1、背景介绍：,（2）、现代数学中的更相减损术：,2018/7/2,2、定义：,所谓更相减损术，就是对于给定的两个数，用较大的数减去较小的数，然后将差和较小的数构成新的一对数，再用较大的数减去较小的数，反复执行此步骤直到差数和较小的数相等，此时相等的两数便为原来两个数的最大公约数。,2018/7/2,例: 用更相减损术求98与63的最大公约数.,解：由于63不是偶数，把98和63以大数减小数，并辗转相减,9863356335283528728721217211477,所以，98
7、和63的最大公约数等于7,3、方法：,2018/7/2,1、用更相减损术求两个正数84与72的最大公约数,练习：,思路分析：先约简，再求21与18的最大公约数,然后乘以两次约简的质因数4。,2、求324、243、135这三个数的最大公约数。,思路分析：求三个数的最大公约数可以先求出两个数的最大公约数，第三个数与前两个数的最大公约数的最大公约数即为所求。,2018/7/2,(1)、算法步骤,第一步：输入两个正整数a,b(ab);第二步：若a不等于b ,则执行第三步；否则转到第五步；第三步：把a-b的差赋予r;第四步：如果br, 那么把b赋给a,把r赋给b;否则把r赋给a，执行第二步；第五步：输出
8、最大公约数b.,*思考：你能根据更相减损术设计程序，求两个正整数的最大公约数吗？,2018/7/2,(2)、程序框图,2018/7/2,(3)、程序,INPUT “a,b=“;a,bWHILE ab r=a-b IF br THEN a=b b=r ELSE a=r END IFWENDPRINT bEND,2018/7/2,比较辗转相除法与更相减损术的区别（1）都是求最大公约数的方法，计算上辗转相除法以除法为主，更相减损术以减法为主，计算次数上辗转相除法计算次数相对较少，特别当两个数字大小区别较大时计算次数的区别较明显。（2）从结果体现形式来看，辗转相除法体现结果是以相除余数为0则得到，而更相减损术则以减数与差相等而得到。,小结,2018/7/2,作业：1、P47 12、P50 2,
