1、,平面的基本性质（2）,一、复习回顾,点A在直线l上,点A在直线l外,点A在平面 内,点A在平面 外,直线l在平面 外,直线l在平面 内,公理3：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面,3、平面的基本性质的三种语言描述：,公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.,公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的集合是经过这个公共点的一条直线,符号语言：,符号语言：,符号语言：,D,C,二、建构数学,推论1：经过一条直线和这条直线外的一点有 且只有一个平面.,图形语言：,符号语言：,推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有
2、一个平面.,已知：点A a.,求证：过点A和直线a可以确定一个平面.,证明：,存在性.,因为A a，在a上任取两点B，C.,所以过不共线的三点A，B，C有一个平面.（公理3）,因为B，C，,所以a .（公理1）,故经过点A和直线a有一个平面.,唯一性.,如果经过点A和直线a的平面还有一个平面，那么A，a ,因为Ba， Ca，所以B，C.（公理1）,故不共线的三点A，B，C既在平面内又在平面内.所以平面和平面重合.（公理3）,所以经过点A和直线a有且只有一个平面,证明：,同理：,即直线AD、BD、CD共面,直线 l 与点 D 可以确定一个平面（推论）,又,又,直线 AD、BD、CD 在同一个平面
3、 内,【例1】已知： 求证：直线 AD、BD、CD 共面.,（公理）,推论2：经过两条相交直线，有且只有一个 平面.,图形语言：,符号语言：,推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面.,证明：,在a上取不同于点P的点A,即：过 a，b 有一个平面,过直线 b和点 A有一个平面,即：,过a，b有一个平面,存在性：,唯一性：,平面的基本性质,例2、两两相交且不同点的三条直线必在同一个平面内,已知：ABAC=A，ABBC=B，ACBC=C,求证：直线AB，BC，AC共面.,证法一：,因为ABAB=A,所以直线AB，AC确定一个平面.（推论2）,因为BAB，CAC，所以B，C，,故BC.（公理1）,因
4、此直线AB，BC，CA共面.,平面的基本性质,证法二：,因为A 直线BC上，,所以过点A和直线BC确定平面.（推论1）,因为A， BBC，所以B.,故AB ，同理AC ，,所以AB，AC，BC共面.,平面的基本性质,证法三：,因为A，B，C三点不在一条直线上，,所以过A，B，C三点可以确定平面.（公理3）,因为A，B，所以AB .（公理1）,同理BC ，AC ，,所以AB，BC，CA三直线共面.,要证各线共面，先确定一个平面，再证明其他直线也在这个平面内。,【例2】已知a，b，c，d是两两相交且不共点 的四条直线，求证：a，b，c，d共面.,证明：,如图（1）,当Q、S、R、三点重合时，如图（
5、2）,同理：,a，b可确定一个平面,即,a，b，c，d共面.,推论3：经过两条平行的直线有且只有一个 平面.,图形语言：,符号语言：,a，b,推论3：经过两条平行的直线有且只有一个平面.,证明：,由平行线的定义知,a，b在同一平面内,设点A为直线a上任一点,则点A在直线b外,点A和直线b在过a，b的平面 ，内,又由推论1，过点A和直线b的平面只有一个,过 a，b 有且只有一个平面,a，b,A,如果经过直线a ， b的平面还有一个平面，那么a ， b ,平面 ，就是一个平面，,【例3】已知空间四点A、B、C、D不在同一平 面内，求证：AB、CD既不平行也不相 交,证明：,假设AB和CD平行或相交
6、，则AB，CD可确定一个平面,与A、B、C、D不共面矛盾,AB和CD既不平行也不相交,数学运用,画出由A1，C1，P三点所确定的平面与长方体表面所在平面的交线。,数学运用,6如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别是AA1、D1C1的中点，过D、M、N三点的平面与正方体的下底面相交于直线l，,（1）画出l的位置；（2）设lA1B1P，求PB1的长.,有三位同学证明如下，请判断正误：,问题研讨,正方体中，试画出过其中三条棱的中点P,Q,R的平面截得正方体的截面形状,思考,课堂练习,课堂练习,B,D,1,B,课堂练习,15,1或4或6,课堂小结,1平面的基本性质的三个推论,2三个推论的应用,再见!,
