1、,主题1：离散型随机变量均值的求法,离散型随机变量均值的概念（1）与加权平均数的比较：在n个数据中，如果x1出现f1次，x2出现f2次，xk出现fk次（其中f1+f2+fk=n），那么其中的频率，当n足够大时，此时可以近似等于E（X）.,（2）随机变量的均值E（X）是一个数值，是随机变量X本身固有的一个数字特征，它不具有随机性，反映的是随机变量X取值的平均水平.,例1已知随机变量X的分布列为:试求：（1）E（X）；（2）若Y=2X-3，求E（Y）.【思路点拨】,【规范解答】（1）由随机变量分布列的性质,得,所以, （2）由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得,离散型随机变量均值的概念包含着求
2、均值的方法，即根据离散型随机变量的分布列可以计算出随机变量的均值.而对于aX+b型随机变量的均值，可以利用均值的性质求解，也可先求出aX+b的分布列再利用均值定义求解.,【互动探究】本例中，若条件不变，求当Y3X-E（X）时，E（Y）的值.【解析】由例题的结果可知所以即E（Y）的值是- .,1.已知离散型随机变量X的分布列是则E（X）=.【解析】因为，所以p=，所以E（X）答案：,2.在一次购物抽奖活动中，假设某10张券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖.某顾客从此10张券中任抽2张，求该顾客获得的奖品总价值X（元）的概率分布列和期望
3、E（X）.,【解析】X的所有可能取值为0,10,20,50,60（元）.则,所以X的分布列为所以（元）.,主题2： 两点分布与二项分布的均值几个特殊分布的均值(1)如果随机变量X服从两点分布，那么E（X）=1p+0(1-p)=p；二项分布的均值E（X）=np，显然当n=1时，二项分布为两点分布，二项分布的均值np成为两点分布的均值p.,(2)超几何分布的均值：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，则,例2 某计算机程序每运行一次都随机出现一个五位的二进制数A ，其中A的各位数中，a1=1,ak(k=2,3,4,5)出现0的概率是 ,出现1的概率是 .记X=a1+a2+a3+a4+
4、a5，当程序运行一次时，求：（1）X=3时的概率；（2）X的分布列和数学期望.,【思路点拨】（1）二进制中，所用的数字有哪几个？（2）数字a2,a3,a4,a5可能等于几？a2+a3+a4+a5的值可能等于几？解决以上三个问题后，再根据随机变量分布列的求法和数学期望的计算公式求解.,【规范解答】（1）因为a1=1，所以要使X=a1+a2+a3+a4+a5=3，只要a2+a3+a4+a5=2，所以a2,a3,a4,a5中出现2个0和2个1，所以 ，即X3时的概率是 .,（2）（方法一）X的所有可能取值是1，2，3，4，5，且 即,所以X的分布列是：所以（方法二）X的分布列同方法一，记Y=a2+a
5、3+a4+a5，则X=Y+1，且YB（4，），所以，所以即X的数学期望是 .,求离散型随机变量均值的步骤：（1）确定该离散型随机变量的分布列；其中确定离散型随机变量的取值及对应的概率值是关键；（2）根据均值公式进行计算.（3）写出结果.,1.若随机变量X服从二项分布，则E（X）的值是( )【解析】选A.因为随机变量X服从二项分布，所以，选A.,2.若离散型随机变量B(n,0.6)，且E()=3，则P（=1）=( )（A）20.44（B）20.45（C）30.44（D）30.64【解析】选C.因为B（n,0.6），所以E（）0.6n=3，解得n=5，所以，故选C.,主题3： 均值的实际应用实际问
6、题中的均值问题数学期望在实际中有着广泛的应用，如在体育比赛的安排和成绩预测，消费预测，工程方案的预测，产品合格率的预测，投资收益预测等，都可以通过随机变量的均值来进行估计.,例3已知某公司在2006年至2010年的产品质量抽检情况如下表所示：,由于受到国际形势的影响，2011年计划生产12 000件该产品.若生产一件合格品盈利0.6万元，生产一件次品亏损0.3万元.（1）填写表格中的合格率，并指出该工厂生产的该产品的合格率最接近于哪个数值p？（2）以（1）中的数值p作为该产品的合格率，试预测2011年该工厂生产该产品的利润是多少？,【思路点拨】（1）根据表中的数据可以直接计算合格率，由历年的产
7、品合格率取平均值（或取小数点后一位的数值）作为该产品的合格率；（2）该产品的合格数服从二项分布，求出合格数的期望值，再计算利润.,【规范解答】（1）由表中数据可知该产品历年的合格率分别是这五个合格率最接近于数值0.8，所以p=0.8；,（2）设12 000件产品中合格产品的数量是X，则X服从二项分布，即XB(12 000,), 所以E（）=12 000=9 600（件），所以该产品的利润是9 6000.6-(12 000-9 600)0.3=5 040（万元），即预计该工厂生产该产品的利润是5 040万元.,概率模型的解答步骤(1)审题,确定实际问题是哪一种概率模型,可能用到的事件类型,所用的
8、公式有哪些.(2)确定随机变量的分布列，计算随机变量的均值.(3)对照实际意义，回答概率、均值等所表示的结论.,1.某公司有10万元资金用于投资开发新项目，如果成功，一年后可获利25%；一旦不成功，一年后将丧失资金的60%，对过去200例类似项目的开发结果进行统计，有192次成功，8次不成功，根据此成功的比例，则该公司一年后可获收益的期望值是_.,【解析】根据题意可知，投资成功（即获利）的概率是 投资失败（即没有收益）的概率是 又因为x1=10 =2.5，x2=10( )=-6，所以收益变量X的分布列是,所以E（X）x1p1+x2p2=2.50.96+(-6)0.04=2.16(万元).答案:
9、2.16万元,2.（2010新课标全国高考）某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为( )（A）100 （B）200 （C）300 （D）400【解析】选B.根据题意有 B（1 000,0.1），所以E（ ）1 0000.1=100，所以E（X）=2E( )=2100=200,故选B.,例（2010北京高考）某同学参加3门课程的考试.假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p,q(pq)，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为
10、,(1)求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率；(2)求p,q的值；(3)求数学期望E（）.【思路点拨】解答本题（1）可充分考虑对立事件概率之间的关系，而解答（2）可利用条件列出p,q的两个关系式，进而解出p,q.对于（3）需要求出P(=1)与P(=2)再利用公式求出E（）.,【规范解答】设“该生第i（i=1,2,3）门课程取得优秀成绩”为事件A，由题意可知P(A1)= ,P(A2)=p，P（A3）q.（1）由于事件“该生至少有一门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有一门课程取得优秀成绩的概率是即该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是；,（2）由题意可知，即由组成方程组，解
11、得p=，q=；,（3）由题意知，,数学期望与其他知识点综合题的解法在高考中,有关概率的应用题是必考的一道解答题，其中数学期望是常解答的一问，通常是在确定随机变量的概率后列出随机变量的分布列，然后根据均值公式求出离散型随机变量的数学期望.,1.在某学校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则再投第三次.某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2.该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为,（1）q2的值；（2）求随机变量的数学期望E（）
12、；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小.,【解析】（1）设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且根据分布列知:=0时,所以1-q2=0.2，q2=0.8.,（2）当=2时,所以随机变量的分布列为随机变量的数学期望E（)=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63,（3）该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率为该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72.由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大.,2.（2010福建高考）设S是不等式x2-x-60的解集，整数m,nS.（1）记“使得m+n=0成立的有序数组(m,n)”为事件A，试列举A包含的基本事件；（2）设=m2，求的分布列及其数学期望E（）.,【解析】（1）由x2-x-60得-2x3，即S=x|-2x3，由于整数m,nS且m+n=0，所以A包含的基本事件为(-2,2)，(2,-2)，(-1,1)，(1,-1)，(0,0).（2）由于m的所有不同取值为-2，-1，0，1，2，3，所以=m2的所有不同取值为0，1，4，9，且有,故的分布列为所以即数学期望E()的值是.,Thank you!,
