1、第四章 测试,(时间:120分钟 总分:150分)一选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的),1.已知两圆的方程是x2+y2=1和x2+y2-6x-8y+9=0,那么这两个圆的位置关系是( )A.相离 B.相交C.外切D.内切解析:将圆x2+y2-6x-8y+9=0.化为标准方程得(x-3)2+(y-4)2=16.两圆的圆心距又r1+r2=5,两圆外切.答案:C,2.过点(2,1)的直线中,被圆x2+y2-2x+4y=0截得的最长弦所在的直线方程为( )A.3x-y-5=0B.3x+y-7=0C.x+3y-5=0D.x-3y+1=0解
2、析:依题意知,所求直线通过圆心(1,-2),由直线的两点式方程得 即3x-y-5=0.答案:A,3.若直线(1+a)x+y+1=0与圆x2+y2-2x=0相切,则a的值为( )A.1,-1B.2,-2C.1D.-1解析:圆x2+y2-2x=0的圆心C(1,0),半径为1,依题意得 即 平方整理得a=-1.答案:D,4.经过圆x2+y2=10上一点 的切线方程是( )解析:点 在圆x2+y2=10上 过点M的切线的斜率为故切线方程为即答案:D,5.点M(3,-3,1)关于xOz平面的对称点是( )A.(-3,3,-1)B.(-3,-3,-1)C.(3,-3,-1)D.(3,3,1)解析:点M(3
3、,-3,1)关于xOz平面的对称点是(3,3,1).答案:D,6.若点A是点B(1,2,3)关于x轴对称的点,点C是点D(2,-2,5)关于y轴对称的点,则|AC|=( )解析:依题意得点A(1,-2,-3),C(-2,-2,-5).答案:B,7.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )答案:B,8.与圆O1:x2+y2+4x-4y+7=0和圆O2:x2+y2-4x-10y+13=0都相切的直线条数是( )A.4B.3C.2D.1解析:两圆的方程配方得,O1:(x+2)2+(y-2)2=1,O2:(x-2)2+(y-5)2=16,圆心O1(-2,2),O2(2,5),
4、半径r1=1,r2=4,|O1O2|= =5,r1+r2=5.|O1O2|=r1+r2,两圆外切,故有3条公切线.答案:B,9.直线l将圆x2+y2-2x-4y=0平分,且与直线x+2y=0垂直,则直线l的方程是( )A.2x-y=0B.2x-y-2=0C.x+2y-3=0D.x-2y+3=0解析:依题意知,直线l过圆心(1,2),斜率k=2,l的方程为y-2=2(x-1),即2x-y=0.答案:A,10.圆x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+4m+1=0的圆心在直线x+y-4=0上,那么圆的面积为( )A.9B.C.2D.由m的值而定解析:x2+y2-(4m+2)x-2my+4m2+
5、4m+1=0,x-(2m+1)2+(y-m)2=m2.圆心(2m+1,m),半径r=|m|.依题意知2m+1+m-4=0,m=1.圆的面积S=12=.答案:B,11.当点P在圆x2+y2=1上变动时,它与定点Q(3,0)的连结线段PQ的中点的轨迹方程是( )A.(x+3)2+y2=4B.(x-3)2+y2=1C.(2x-3)2+4y2=1D.(2x+3)2+4y2=1,解析:设P(x1,y1),Q(3,0),设线段PQ中点M的坐标为(x,y),则 x1=2x-3,y1=2y.又点P(x1,y1)在圆x2+y2=1上,(2x-3)2+4y2=1.故线段PQ中点的轨迹方程为(2x-3)2+4y2=
6、1.答案:C,12.曲线 与直线y=k(x-2)+4有两个交点,则实数k的取值范围是( ),解析:如图所示,曲线 变形为x2+(y-1)2=4(y1),直线y=k(x-2)+4过定点(2,4),当直线l与半圆相切时,有解得当直线l过点(-2,1)时, 因此,k的取值范围是答案:D,二填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分,把答案填在题中横线上)13.圆x2+y2=1上的点到直线3x+4y-25=0的距离最小值为_.解析:圆心(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离为5,所求的最小值为4.,4,14.圆心为(1,1)且与直线x+y=4相切的圆的方程是_.解析: 所以圆的方程为(x-1)
7、2+(y-1)2=2.,(x-1)2+(y-1)2=2,15.方程x2+y2+2ax-2ay=0表示的圆,关于直线y=x对称;关于直线x+y=0对称;其圆心在x轴上,且过原点;其圆心在y轴上,且过原点,其中叙述正确的是_.解析:已知方程配方得,(x+a)2+(y-a)2=2a2,圆心坐标为(-a,a),它在直线x+y=0上,已知圆关于直线x+y=0对称.故正确.,16.直线x+2y=0被曲线x2+y2-6x-2y-15=0所截得的弦长等于_.解析:x2+y2-6x-2y-15=0,(x-3)2+(y-1)2=25.圆心(3,1)到直线x+2y=0的距离在弦心距、半径、半弦长组成的直角三角形中,
8、由勾股定理得,弦长,三解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明证明过程或演算步骤)17.(10分)自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC,求弦BC中点P的轨迹方程.分析:可用几何法定义法等解决一般二次曲线的弦的中点问题.,解法1:连结OP,则OPBC,设P(x,y),当x0时,kOP5kAP=-1,即即x2+y2-4x=0当x=0时,P点坐标为(0,0)是方程的解,BC中点P的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).解法2:由解法1知OPAP,取OA中点M,则M(2,0),|PM|= |OA|=2,由圆的定义知,P点轨迹方程是以M(2,0)为圆心,2为半径的圆.
9、故所求的轨迹方程为(x-2)2+y2=4(在已知圆内).,-得(x1+x2)(x1-x2)+(y1+y2)(y1-y2)=0,当x1x2时,x2+y2-4x=0,当x1=x2时,P点坐标为(0,0)适合上述方程,从而得所求的轨迹方程为x2+y2-4x=0(在已知圆内).,18.(12分)求过P(5,-3),Q(0,6)两点,并且圆心在直线l:2x-3y-6=0上的圆的方程.解:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.将P(5,-3),Q(0,6)代入得5D-3E+F=-346E+F=-36又圆心 在直线2x-3y-6=0上,2D-3E+12=0,联组成方程组得D=-38, F=92所求
10、圆的方程为,19.(12分)已知圆C1:x2+y2-3x-3y+3=0,圆C2:x2+y2-2x-2y=0,求两圆的公共弦所在的直线方程及弦长.解:设两圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则AB两点的坐标是方程组 的解,两方程相减得:x+y-3=0,AB两点的坐标都满足该方程,x+y-3=0为所求.,将圆C2的方程化为标准形式,(x-1)2+(y-1)2=2,圆心C2(1,1),半径 圆心C2到直线AB的距离即两圆的公共弦长为,20.(12分)已知三点A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),以点P(2,-1)为圆心作一个圆,使ABC三点中一点在圆外,一点在圆上,一点在圆内,求此
11、圆的标准方程.解:由A(3,2),B(5,-3),C(-1,3),P(2,-1)可得:|PA|2=10,|PB|2=13,|PC|2=25|PA|2|PB|20,解得b1,所以实数b的取值范围是(-,0)(0,1).,(2)设圆C的方程是x2+y2+Dx+Ey+F=0.令y=0,得x2+Dx+F=0,这与x2+2x+b=0是同一个方程,则D=2,F=b.令x=0,得y2+Ey+F=0,则关于y的方程y2+Ey+F=0有且只有一个实数根b,则b2+Eb+b=0.又b0,所以E=-1-b.所以圆C的方程x2+y2+2x+(-1-b)y+b=0.,(3)圆C的方程可化为(x2+y2+2x-y)-b(y-1)=0.圆C经过的定点是圆x2+y2+2x-y=0和直线y-1=0的交点,所以经过定点(0,1),(-2,1).,
