1、,3.2.1几类不同增长的函数模型,实验高中 杨丽丽,【教学重点】,【教学目标】,【教学难点】,课程目标,将实际问题转化为函数模型,结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义,怎样选择和利用数学模型分析解决实际问题.,借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对指数函数，对数函数以及幂函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性恰当运用函数的三种表示法（解析式、图象、表格）并借助信息技术解决一些实际问题.,在理想环境中,种群数量呈指数增长;在有限制的环境中,种群数量的增长将由指数增长转
2、变为对数增长,并逐渐趋于稳定.那么,应如何选择不同的函数模型描述这些现象呢？,问题情景,问题情景,材料：澳大利亚兔子数“爆炸”1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子数量不断增加，不到100年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达到75亿只可爱的兔子变得可恶起来，75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口这使澳大利亚头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气一般而言，在理想条件（食物或养料充足，空间条件充裕，气候适
3、宜，没有敌害等）下，种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线；在有限环境（空间有限，食物有限，有捕食者存在等）中，种群增长到一定程度后不增长，曲线呈“S”型可用指数函数描述一个种群的前期增长，用对数函数描述后期增长的，感知指数函数变化剧烈。,【例1】假设你有一笔资金用于投资,现有三种投资方案供你选择,这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元,以后每天的回报比前一天翻一番.请问,你会选择哪种投资方案？,在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,构建数学,探究一,投资天数、回报金额,解:设第x
4、天所得回报是 y元，则,方案一：,方案二：,方案三：,在本问题中涉及哪些数量关系？如何用函数描述这些数量关系？,探究一,上述的三个数学模型,第一个是常数函数,另两个都是递增的函数模型,你如何对三个方案作出选择？,方法1:我们来计算三种方案所得回报的增长情况：,探究二,请同学们对函数增长情况进行分析,方法是列表观察或作出图象观察.,根据表格中所提供的数据,你对三种方案分别表现出的回报资金的增长差异有什么认识？,三种方案每天回报表,底数为2 的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的函数有什么新的理解？,你能通过图象描述一下三种方案的特点吗？,方法2：我们来作出三种方案的
5、三个函数的图象：,结论: 投资16天,应选择方案一; 投资7天,应选择方案一或二; 投资810天,应选择方案二; 投资11天(含11天)以上,则应选择方案三.,回报,天数,方案,累计回报表：,方案一,方案二,方案三,实际应用问题,分析、联想抽象、转化,构建数学模型,解答数学问题,审 题,数学化,寻找解题思路,还原,(设),(列),(解),(答), 解答例1的过程实际上就是建立函数模型的过程,建立函数模型的程序大概如下：,变式训练,【1】某种计算机病毒是通过电子邮件进行传播的，如果某台计算机感染上这种病毒，那么每轮病毒发作时，这台计算机都可能感染没被感染的20台计算机.现在10台计算机在第1轮病
6、毒发作时被感染，问在第5轮病毒发作时可能有多少台计算机被感染？(练习P.982),2.答案:第5轮病毒发作时最多会有160万台被感染,【例2】某公司为了实现1000万元利润的目标,准备制定一个激励销售部门的奖励方案:在销售利润达到10万元时,按销售利润进行奖励,且奖金y(单位:万元)随销售利润x(单位:万元)的增加而增加,但奖金总数不超过5万元,同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y=0.25x,y=log7x+1,y=1.002x,其中哪个模型能符合公司的要求？,本问题涉及了哪几类函数模型？本问题的实质是什么？, 一次函数模型,实质:分析三种函数的不同增长情况对于奖励模型的影响，就
7、是比较三个函数的增长情况,y=0.25x,y=log7 x +1, 对数函数模型, 指数函数模型,y=1.002x,探究一,销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励,且部门销售利润一般不会超过公司总的利润1000万元,所以销售利润x可用不等式表示为_.,依据这个模型进行奖励时,奖金不超过利润的25%,所以奖金y可用不等式表示为_.,依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元,所以奖金y可用不等式表示为_.,10x1000,0y5,0y25%x,你能用数学语言描述符合公司奖励方案的条件吗?,探究二,你能根据问题中的数据，判定所给的奖励模型是否符合公司要求吗？,奖励模型符合公司要求就是依据这个
8、模型进行奖励时,符合条件： (1)奖金总数不超过5万元； (2)奖金不超过利润的25%.,因此,在区间10,1000上,不妨作出三个函数模型的图象,通过观察函数的图象,得到初步的结论,再通过具体计算确认结果.,探究三,400,600,800,1000,1200,200,1,2,3,4,5,6,7,8,x,y,o,y=5,y=0.25x,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型y=0.25x,它在区间10,1000上递增,当x20时,y5,因此该模型不符合要求;,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励
9、方案？,对于模型y=1.002x,它在区间10,1000上递增, 观察图象并结合计算可知,当x806时,y5,因此该模型不符合要求.,探究四,通过观察图象,你认为哪个模型符合公司的奖励方案？,对于模型y=log7x+1,它在区间10,1000上递增,观察图象并结合计算可知,当x=1000时, y=log71000+14.555,所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.,按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？,解:当x10,1000时, 要使y0.25x成立,令f(x)= log7x+1-0.25x,当x10,1000时是否有f(x) 0恒成立?,即当x10,1000时,f
10、(x)= log7x+10.25x的图象是否在x轴下方?,作f(x)= log7x+1-0.25x的图象如下：,只需log7x+10.25x 成立，,即log7x+1-0.25x 0.,探究五,由图象知 f(x) 在10,1000上为减函数.,说明当x10,1000时,有,.,另解:作出f(x)的图象(利用计算机).,综上按对数函数模型奖励符合公司提出的要求.,按模型y=log7x+1奖励时，奖金是否不超过利润的25%呢？,探究五,即奖金不会超过利润的25%.,变式训练,课堂小结,确定函数模型,利用数据表格、函数图象讨论模型,体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型的增长含义,布置作业,(1)课本P.39A 5,(2)学案P.27-28,P.39 2,探究创新,再见,
