1、3.2复数代数形式的四则运算,3.2.1复数代数形式的加减运算及其几何意义,1.掌握复数代数形式的加、减法运算法则.2.理解复数代数形式的加、减法运算的几何意义.,1.复数的加、减法运算法则及运算律(1)复数的加、减法运算法则.设复数z1=a+bi(a,bR),z2=c+di(c,dR),则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.(2)复数加法满足的运算律.对任意z1,z2,z3C,满足交换律:z1+z2=z2+z1,结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,名师点拨两个复数相加(减)就是把
2、实部与实部、虚部与虚部分别相加(减),即(a+bi)(c+di)=(ac)+(bd)i(a,b,c,dR).,【做一做1-1】 已知复数z1=3+4i,z2=3-4i,则z1+z2等于()A.8iB.6 C.6+8iD.6-8i解析:z1+z2=(3+4i)+(3-4i)=(3+3)+(4-4)i=6,故选B.答案:B【做一做1-2】 若复数z满足z+i-3=3-i,则z等于()A.0B.2i C.6D.6-2i解析:z+i-3=3-i,z=(3-i)-(i-3)=(3+3)+(-i-i)=6-2i,故选D.答案:D,归纳总结1.因为复数具有数与形的双重性,因此复数加法也应从数与形两个方面来领
3、会.代数形式上,复数加法类似于多项式加法的合并同类项;几何形式上,复数加法类似于向量加法.2.两个复数的和是一个确定的复数.,3.复数减法的几何意义,1.如何理解复数代数形式的加、减法运算法则?剖析:复数代数形式的加法法则是一种规定,减法是加法的逆运算,其合理性可以从以下几点理解:(1)当复数的虚部为零时,与实数的加、减法法则一致.(2)实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.(3)两个复数的和(差)是唯一确定的复数.(4)可以推广到多个复数进行加、减法运算.,拓展:复数加法运算律的证明.,设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i,其中a1,b1,a2,b2,a3,b3R
4、.交换律:z1+z2=z2+z1.,证明:z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i,z2+z1=(a2+b2i)+(a1+b1i)=(a2+a1)+(b2+b1)i,又a1+a2=a2+a1,b1+b2=b2+b1,z1+z2=z2+z1.结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,证明:(z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+a2)+(b1+b2)i+(a3+b3i)=(a1+a2)+a3+(b1+b2)+b3i,z1+(z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b
5、1i)+(a2+a3)+(b2+b3)i=a1+(a2+a3)+b1+(b2+b3)i,又(a1+a2)+a3=a1+(a2+a3),(b1+b2)+b3=b1+(b2+b3),(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).,拓展:由复数加减法的几何意义可得如下结论:|z1|-|z2|z1z2|z1|+|z2|.,题型一,题型二,题型三,复数的加减运算【例1】 计算:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i);(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i);(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i).,分析:根据复数的加、减法法则进行计算.,解:(1)(3-5i)+(-4-i)-(3
6、+4i)=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.(2)(-7i+5)-(9-8i)+(3-2i)=(5-9+3)+(-7+8-2)i=-1-i.(3)(5-6i)+(-2-2i)-(3+3i)=(5-2-3)+-6+(-2)-3i=-11i.,题型一,题型二,题型三,反思复数的加、减法法则的记忆:方法一:复数的实部与实部相加减,虚部与虚部相加减.方法二:把i看作一个字母,类比多项式加减运算中的合并同类项.,【变式训练1】 (1)计算:(1+2i)+(3-4i)-(5+6i);5i-(3+4i)-(-1+3i).(2)若复数z满足z+|z|+3+2i=5-6i,求复数z.,题型一,题
7、型二,题型三,复数加减运算的几何意义 【例2】 在复平面内,点A,B,C分别对应复数z1=1+i,z2=5+i,z3=3+3i,以AB,AC为邻边作一个平行四边形ABDC,求D点对应的复数z4及AD的长.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加、减法运算转化为向量的坐标运算.2.利用向量进行复数的加减运算时,同样满足平行四边形法则和三角形法则.3.复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可能.,题型一,题型二,题型三,【变式训练2】,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思1.解决复
8、数问题时,设出复数的代数形式z=x+yi(x,yR),利用复数相等或复数的模的概念,列出方程或方程组求实部、虚部,可把复数问题实数化.2.利用复数加减运算及模的几何意义,应用数形结合的思想,可以直观简捷地解决复数问题.方形.,题型一,题型二,题型三,3.掌握以下常用结论.在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点,(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|,且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正,【变式训练3】 已知复数z1,z2满足|z1|=|z2|=|z1+z2|,z1+z2=2i,求z1,z2.,题型一,题型二,题型三,
