1、1.4生活中的优化问题举例,【题型示范】类型一 几何中的最值问题【典例1】(1)用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为21，则该长方体的最大体积是_m3.,(2)如图，等腰梯形ABCD的三边AB，BC，CD分别与函数y=- x2+2，x-2，2的图象切于点P，Q，R.求梯形ABCD面积的最小值.,【解题探究】1.题(1)中应设哪个未知量?如何表示其他的量?2.题(2)中如何巧设切点坐标?在曲线上一点处的切线方程公式是什么?【探究提示】1.根据题意知，长方体的所有棱长和是18m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大值即可.2.可设点P
2、的坐标为(t，- t2+2)(0t2)，过曲线上一点的切线方程公式是y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,【自主解答】(1)设该长方体的宽是x m，由题意知，其长是2x m，高是 则该长方体的体积V(x)=x2x( -3x)=-6x3+9x2，由V(x)=0，得到x=1，且当0x1时，V(x)0；当1x 时，V(x)0，即体积函数V(x)在x=1处取得极大值V(1)=3，也是函数V(x)在定义域上的最大值所以该长方体体积最大值是3 m3答案：3,(2)设梯形ABCD的面积为S，点P的坐标为(t，- t2+2)(0t2)由题意得，点Q的坐标为(0，2)，直线BC的方程为y=2因为y=- x2
3、+2，所以y=-x，所以y|x=t=-t，所以直线AB的方程为y-(- t2+2)=-t(x-t)，即：y=-tx+ t2+2，令y=0得，所以A( ，0).令y=2得，x= t，所以B( t，2)，所以,令S=0得t= .故当t= 时，S有最小值为所以梯形ABCD的面积的最小值为,【方法技巧】1解决面积、体积最值问题的思路解决面积、体积的最值问题，要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值2.利用导数解决优化问题的基本思路,3.解决优化问题时应注意的问题(1)列函数关系式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.(2)一般地，通过函数的
4、极值来求得函数的最值.如果函数f(x)在给定区间内只有一个极值点或函数f(x)在开区间上只有一个点使f(x)=0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.,【变式训练】某出版社出版一读物，一页上所印文字占去150cm2，上、下要留1.5cm空白，左、右要留1cm空白，出版商为节约纸张，应选用怎样尺寸的页面?【解题指南】设所印文字区域的左右长为x cm，确定纸张的长与宽，表示出面积，利用导数，确定函数的单调性，即可求得结论,【解析】设所印文字区域的左右长为x cm，则上下长为 cm，所以纸张的左右长为(x+2)cm，上下长为( +3)cm，所以纸张的面积
5、S=(x+2)( +3)=3x+ +156所以S= ，令S=0解得x=10当x10时，S单调递增；当0x10时，S单调递减所以当x=10时，Smin=216(cm2)，此时纸张的左右长为12 cm，上下长为18 cm故当纸张的边长分别为12 cm，18 cm时最节约,【补偿训练】已知三棱锥S-ABC的底面是正三角形，点A在侧面SBC上的射影H是SBC的垂心，SA=a，则此三棱锥体积的最大值是_.【解题指南】说明点S在底面ABC上的射影O为ABC的垂心，三棱锥S-ABC为正三棱锥，记SO=h(ha)，求出AO，AB，表示出f(h)，通过导数求出函数的最大值.,【解析】因为点A在侧面SBC上的射影
6、H是SBC的垂心，所以点S在底面ABC上的射影O为ABC的垂心；又ABC为正三角形，所以O为ABC的中心，即三棱锥S-ABC为正三棱锥记SO=h(ha)，则AO= ，于是有AB= ，记三棱锥S-ABC的体积为f(h)，则f(h)= (a2-h2)h，f(h)= (a2-3h2)，所以f(h)max=答案：,类型二 用料(费用)最省问题【典例2】(1)圆柱形金属饮料罐的容积一定，要使生产这种金属饮料罐所用的材料最省，它的高与底面半径比为_.,(2)某网球中心欲建连成片的网球场数块，用128万元购买土地10000平方米，该中心每块球场的建设面积为1000平方米，球场的总建筑面积的每平方米的平均建设
7、费用与球场数有关，当该中心建球场x块时，每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)=800(1+ ln x)来刻画.为了使该球场每平方米的综合费用最省(综合费用是建设费用与购地费用之和)，该网球中心应建几个球场?,【解题探究】1.题(1)中圆柱形金属饮料罐容积一定，底面半径和高有什么关系?2.题(2)中解决用料(费用)最省问题的关键是什么?【探究提示】1.V=R2h，即2.解决用料(费用)最省问题的关键是选取合适的量作为自变量，把要求解的问题表示成自变量的函数，再利用导数求出最小值.,【自主解答】(1)设圆柱形饮料罐的高为h，底面半径为R，则表面积S=2Rh+2R2.由V=R2h，得
8、h= ，则S(R)= +2R2，令S(R)=解得R=从而即h=2R，因为S(R)只有一个极值，所以它是最小值，当饮料罐的高与底面直径相等，即hR=21时所用材料最省.答案：21,(2)设建成x个球场，则1x10，每平方米的购地费用为 元，因为每平方米的平均建设费用(单位：元)可近似地用f(x)=800(1+ ln x)来表示，所以每平方米的综合费用为g(x)=f(x)+ =800+160ln x+ (x0)，所以g(x)= (x0)，令g(x)=0，则x=8，当0x8时，g(x)0，当x8时，g(x)0，所以x=8时，函数取得极小值，且为最小值故当建成8座球场时，每平方米的综合费用最省,【延伸
9、探究】若把题(1)中的条件改为圆柱形金属饮料罐的表面积为定值S，要使它的容积最大，它的高与底面半径的比为_.【解题指南】先写出饮料罐的高与底面半径的关系，再把饮料罐的体积表示成底面半径的函数，利用导数求出饮料罐容积最大时满足的条件，再求高与底面半径的比.,【解析】因为S=2Rh+2R2，所以所以V(R)= (S-2R2)R= SR-R3，V(R)= S-3R2=0，得S=6R2，当S=6R2时，容积最大，此时6R2=2Rh+2R2即hR=21.答案：21,【方法技巧】利用导数解决生活中优化问题的四个步骤,【变式训练】统计表明：某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米
10、/小时)的函数解析式可以表示为 ，x(0，120，且甲、乙两地相距100千米，则当汽车以多少千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油量最少.【解题指南】根据题意求出总耗油量h(x)与速度x的关系式，再利用导函数求出h(x)的极小值判断出就是最小值即可,【解析】当速度为x千米/小时时，汽车从甲地到乙地行驶了 小时，设耗油量为h(x)升，依题意得h(x)=h(x)=令h(x)=0，得x=80当x(0，80)时，h(x)0，h(x)是减函数；当x(80，120)时，h(x)0，h(x)是增函数,所以当x=80时，h(x)取到极小值h(80)=1125因为h(x)在(0，120上只有一个极值，所以
11、它是最小值故当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少，最少为1125升,【补偿训练】(2014南京高二检测)如图，现要在边长为100 m的正方形区域ABCD内建一个交通“环岛”以正方形的四个顶点为圆心，在四个角分别建半径为x m(x不小于9)的扇形花坛，以正方形的中心为圆心建一个半径为 x2 m的圆形草地.为了保证道路畅通，岛口宽不小于60 m，绕岛行驶的路宽均不小于10 m.,(1)求x的取值范围.(运算中 取1.4)(2)若中间草地的造价为a元/m2，四个花坛的造价为 元/m2，其余区域的造价为 元/m2，当x取何值时，可使“环岛”的整体造价最低？,x9，【解析】(1)
12、由题意得， 100-2x60， 100 -2x-2 x2210， x9，解得 x20， 即9x15. -20x15，,(2)记“环岛”的整体造价为y元，则由题意得令f(x)=则f(x)=由f(x)=0，解得x=0或x=10或x=15，列表如下：,所以当x=10时，y取最小值.答：当x=10时，可使“环岛”的整体造价最低.,类型三 利润最大(成本最低)问题【典例3】(1)甲乙两地相距240 km，汽车从甲地以速度v(km/h)匀速行驶到乙地已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为 元为使全程运输成本最小，汽车应以_速度行驶.,(2)某工厂生产某种产品，已知
13、该产品的月生产量x(吨)与每吨产品的价格p(元/吨)之间的关系式为：p=24 200- x2，且生产x吨的成本为R=50 000+200x(元)问该厂每月生产多少吨产品才能使利润达到最大？最大利润是多少？,【解题探究】1.题(1)中汽车每小时的运输成本由哪些成本组成？如何利用导数求最值？2.题(2)中利润、收入、成本三者之间有何关系?求利润最大的解题思路是什么?【探究提示】1.根据汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为160元，可变成本为 元，可构建函数，利用导数可求函数的极值，极值就是最值2.利润、收入、成本三者之间的关系为：利润=收入-成本首先列出利润关于月生产量的关系式
14、，再利用导数求函数的最值,【自主解答】(1)设全程运输成本为y元，由题意，得令y=0，得v=80当v80时，y0；当0v80时，y0所以v=80时，ymin=720答案：80 km/h,(2)每月生产x吨时的利润为f(x)=(24 200- x2)x-(50 000+200x)=- x3+24 000x-50 000(x0)，由f(x)=- x2+24 000=0，解得：x=200或x=-200(舍去)因f(x)在0，+)内只有一个点x=200使f(x)=0，故它就是最大值点，且最大值为f(200)=- 2003+24 000200-50 000=3 150 000(元)，故每月生产200吨产
15、品时利润达到最大，最大利润为315万元,【方法技巧】1.经济生活中优化问题的解法经济生活中要分析生产的成本与利润及利润增减的快慢，以产量或单价为自变量很容易建立函数关系，从而可以利用导数来分析、研究、指导生产活动.2.关于利润问题常用的两个等量关系(1)利润=收入-成本.(2)利润=每件产品的利润销售件数.,【变式训练】(2014宁德高二检测)在一定面积的水域中养殖某种鱼类，每个网箱的产量p是网箱个数x的一次函数，如果放置4个网箱，则每个网箱的产量为16吨；如果放置7个网箱，则每个网箱的产量为10吨，由于该水域面积限制，最多只能放置10个网箱.(1)试问放置多少个网箱时，总产量Q最高?(2)若
16、鱼的市场价为m万元/吨，养殖的总成本为(5lnx+1)万元.(i)当m=0.25时，应放置多少个网箱才能使总收益y最大?(ii)当m0.25时，求使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合.,【解析】(1)设p=ax+b，由已知得 所以所以p=-2x+24，所以Q=px=(-2x+24)x=-2(x-6)2+72(xN*，x10)，所以当x=6时，f(x)最大，即放置6个网箱时，可使总产量达到最大(2)总收益为y=f(x)=(-2x2+24x)m-(5ln x+1)(xN*，x10)，(i)当m=025时，f(x)=(-2x2+24x) -(5ln x+1)=- x2+6x-5ln x-1，所以
17、f(x)=,当1x5时，f(x)0，当5x10时，f(x)0，所以x=5时，函数取得极大值，也是最大值所以应放置5个网箱才能使总收益y最大；(ii)当m025时，f(x)=(-2x2+24x)m-(5ln x+1)，所以f(x)=令f(x)=0，即-4mx2+24mx-5=0，因为m0.25，所以=16m(36m-5)0，方程-4mx2+24mx-5=0的两根分别为x1=3- ，x2=3+ ，因为m0.25，所以x11，5x26，所以当x(1，x2)时，f(x)0，当x2x10时，,f(x)0，所以x=x2时，函数取得极大值，也是最大值所以使得收益y最高的所有可能的x值组成的集合为5，6,【补
18、偿训练】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y(单位：千克)与销售价格x(单位：元/千克)满足关系式y= +10(x-6)2，其中3x6，a为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克.(1)求a的值.(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【解题指南】(1)根据“销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克”可知销售函数过点(5，11)，将其代入可求得a的值.(2)利润为f(x)=(每千克产品的售价-每千克产品的成本)销售量，表示出函数解析式后，可借助导数求最值.,【解析】(1)因为x=5时，y=11，所
19、以 +10=11，所以a=2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量y= +10(x-6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润f(x)=(x-3) +10(x-6)2=2+10(x-3)(x-6)2，3x6.从而f(x)=10(x-6)2+2(x-3)(x-6)=30(x-4)(x-6).于是，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表，,由上表可得，x=4是函数f(x)在区间(3，6)内的极大值点，也是最大值点.所以，当x=4时，函数f(x)取得最大值，且最大值等于42.答：当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大.,【规范解答】导数在解决实际问题中的应用【典例】(
20、12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件产品的售价为x元(9x11)时，一年的销售量为(12-x)2万件.(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式.(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L最大，并求出L的最大值Q(a).,【审题】抓信息，找思路,【解题】明步骤，得高分,【点题】警误区，促提升失分点1：若在处不能正确求出导数为0的点，即不舍x=12则会求错，本例最多得2分.失分点2：若审题不清忽视对处的讨论，仅求出一组，则本例最多得5分.失分点3：若虽然进行了讨论，但无法确定函数取得最大
21、值的点，即未能求出处的值，则本例最多得7分.,【悟题】提措施，导方向1.应用分类讨论思想在解含有参数的问题时，一定要注意分类讨论.如本例中销售价x由于管理费a的变化而变化，最终会影响利润的最大值.2.注意限制条件的挖掘对题目中的条件要认真分析，找出一些限制条件，如本例中x的取值，对于不符合条件的x的取值，要舍去.,3.注意解题的规范性解决实际应用题时，要注意解答过程的规范性，对于分类讨论得到的结果，如本例最大利润的结果表达式，要写成分段的形式，最后一定要进行总结.,【类题试解】某工厂生产某种水杯，每个水杯的原材料费、加工费分别为30元、m元(m为常数，且2m3)，设每个水杯的出厂价为x元(35
22、x41)，根据市场调查，水杯的日销售量与ex(e为自然对数的底数)成反比例，已知每个水杯的出厂价为40元时，日销售量为10个.(1)求该工厂的日利润y(元)与每个水杯的出厂价x(元)的函数关系式.(2)当每个水杯的出厂价为多少元时，该工厂的日利润最大，并求日利润的最大值.,【解析】(1)设日销量为s，则s= ，因为x=40时，s=10，所以10= ，所以k=10e40，所以s= 所以y= (x-30-m)(35x41).(2)y= (31+m-x)，令y=0，可得x=31+m，所以当2m3时，3331+m34，所以当35x41时，y0，函数为减函数所以当x=35时，y取最大值，最大值为10(5-m)e5,
