1、等比数列的前n项和,上节课我们学习了等比数列的有关知识，现在请同学们首先回顾一下等比数列的有关内容：,在等比数列中，公比q是不能为0的。那它能为1吗？若能，则是一个什么数列?,q (n2，q0),an= a1qn-1 (a10且q0）,即： = q (n2，q0),传说古代印度有一国王喜爱国际象棋，中国智者云游到此，国王得知智者棋艺高超，于是派人请来智者与其对弈，并傲慢地说：“如果你赢了我将答应你的任何要求。”智者心想，我应该治一治国王的傲慢，当国王输棋后，智者说：“陛下只须派人用麦粒填满象棋盘上的所有空格，第1格1粒，第2格2粒，第3格4粒，依此下去，以后每格是前一格粒数的2倍。”国王听后：
2、哈哈大笑，这个问题也太简单了罢！于是国王吩咐手下马上去办，可是过了好多天，手下惊慌地报到国王，大事不好了，即使我们印度近几十年来生产的所有麦子加起来也还不够啊！国王呆了！,即求： + + + + + =?,1,21,22,23,263,分析：由等比数列的通项公式可知，任一项皆可用首项及公比来表示，因此上式可变为：,如果将等式两边同乘q，则得到一个新的等式,我们注意观察相邻两项的结构，有何特点？,提出问题：已知 等比数列an，公比为q， 求 Sn=a1+a2+an,Sn =a1+a1q+a1q2 + +a1qn1 ,qSn= a1q+a1q2+a1q3 + +a1qn ,从第二项起，每一项为前一
3、项的q倍,Sn=a1+a2+ an,=a1+a1q+a1q2+a1qn-1 ,qSn= a1q+a1q2+a1qn-1 +a1qn , - 得,Sn-qSn=a1-a1qn,(1-q)Sn=a1-a1qn,当q1时,当q=1时,Sn=,Sn=na1,即：,当q1时,Sn,以上推导公式的方法我们称之为“错位相减法”,等比数列的前n项和公式可不只有上面这种方法啊！它的推导方法还有好多种,有兴趣的同学可别忘了下去研究啊！,等比数列的前n项和公式为：,以下问题你能回答吗？,公式中的qn的n是项数n吗？,是,在公式（1）中，当q1时， 分母是1q时，分子是 ， 分母是q1时，分子是 。,当公比q不确定时
4、，应当分q=1和q1两种情况讨论。,D,D,练习：等比数列1，21，22，23，263 的所有项的和是（ ） A. 264 B.2631 C.2641 D.2641 数列a，a2，a3，an的前n项和为（ ） A. B. 0 C. n D.以上都不对等比数列 ， ， ， 前8项和为_,264-1，这个数很大,超过了1.841019,假定千粒麦子的质量为40g，则填满棋盘所需麦粒的总质量约为7000亿吨。,“ ， ， ”,+ + + + = ?,一尺之棰,日取其半,万世不竭,n天之后取得的木棒的总长呢？,n天之后，我们总共取的木棒长度为：,Sn=,例1：远望巍巍塔七层，,分析：这首古诗前三句给大
5、家展现了一幅美丽的夜景，最后一句把它变成了一个数学问题？你能用今天的知识求出这首古诗的答案吗？,红光点点倍加增，,其灯三百八十一，,请问尖头几盏灯？,这首古诗的答案是什么？,？,解：设尖头有灯a1盏，则由题意得： S7= 解得 a1 =3， 故尖头有灯3盏,数学建模：已知等比数列 ，公比q=2 n=7，S7=381求a1,通过上面例题与习题的求解，可以看出，在公式中涉及到了五个量，我们只要知道其中的三个量，利用等比数列的通项公式，及等比数列的前n项和公式就可以求出另外两个量。即“知三求二”。,例2：求和： Sn=,分析：上面各括号内的式子均由两项组成，其中各括号内的前一项与后一项分别组成等比数列。分别求这两个等比数列的和，就能得到所求式子的和。,引申：（1）当把x1这个条件去掉时，上式该如何求和呢？,（2）当把x1，y1这两个条件去掉时，上式又该如何求和呢？,Sn=,分析：应该分x=1和x1两种情况讨论,=,四、小结：,1、两个公式：,2、两种方法：,3、两种思想：,五、 作业：P129 1、4、5、6,错位相减法、分组求和法,分类讨论的思想(q=1和q1)方程思想(知三求二),祝同学们学习进步谢谢大家,
