1、单元整合,专题二,专题三,专题一平面直角坐标系中的伸缩变换函数y=f(x)(xR)(其中0,且1)的图象可以看作是把函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短或伸长为原来的 1 倍(纵坐标不变)而得到的.函数y=Af(x)(xR)(其中A0,且A1)的图象可以看作是把函数f(x)图象上所有点的纵坐标伸长(当A1时)或缩短(当00), =(0), 在使用时,需分清新旧坐标.,专题一,专题二,专题三,【应用】 在同一平面直角坐标系中,求满足下列图形变换的伸缩变换:(1)曲线x2-y2-2x=0变成曲线x2-16y2-4x=0;(2)曲线x2+y2=4变成曲线 2 4 + 2 9 =1.,解:(1)设所求
2、的伸缩变换为 =(0), =(0), 则x2-16y2-4x=0可化为2x2-162y2-4x=0,即x2- 16 2 2 y2- 4 x=0.x2-y2-2x=0, 4 =2, 16 2 2 =1. =2, = 1 2 . 所求的伸缩变换为 =2, = 1 2 .,专题一,专题二,专题三,(2)设所求的伸缩变换为 =(0), =(0), 则有 2 4 x2+ 2 9 y2=1.又 2 4 + 2 4 =1, 2 4 = 1 4 , 2 9 = 1 4 . =1, = 3 2 . 所求的伸缩变换为 =, = 3 2 .,专题一,专题二,专题三,专题一,专题二,专题三,专题二极坐标的应用在极坐标
3、系中,有关点到直线的距离、圆与直线的位置关系的判断等问题,一般先将极坐标(方程)转化为直角坐标(方程),再求解.【应用】 求点M 4, 3 到直线cos 3 =2上的点的距离的最小值.提示:可以先化为直角坐标再求解.,专题一,专题二,专题三,解:点M的直角坐标为(2,2 3 ),cos 3 =2, coscos 3 +sinsin 3 =2. 1 2 cos + 3 2 sin =2. 1 2 x+ 3 2 y=2,即x+ 3 y-4=0.d= |2+2 3 3 4| 1+3 =2.故点M到直线cos 3 =2上的点的距离的最小值为2.,专题一,专题二,专题三,专题三求轨迹的极坐标方程求轨迹方
4、程的方法直接法、定义法、相关点代入法等在极坐标中仍然适用,注意求谁设谁,找出所设点的坐标,所满足的关系式,再化简求解.,专题一,专题二,专题三,【应用1】 从原点O引直线交直线2x+4y-1=0于点M,P为OM上一点.已知|OP|OM|=1,求点P的轨迹的极坐标方程.提示:由于P,M,O三点共线,因此POx=MOx,可建立极坐标系求其轨迹方程.解:以O为极点,x轴正方向为极轴建立极坐标系,直线方程化为2cos +4sin -1=0.设M(0,0),P(,),则20cos 0+40sin 0-1=0.由 = 0 , 0 =1, 知 0 =, 0 = 1 . 代入得,2 1 cos +4 1 si
5、n -1=0,=2cos +4sin .,专题一,专题二,专题三,点评(1)当所求的动点的轨迹与已知点及原点共线时,可用建立极坐标系的方法求其轨迹方程,因为此时动点与已知点有相同的极角.(2)本题中求轨迹的方法称为相关点代入法.,【应用2】 已知定点A(a,0),动点P对极点O和点A的张角OPA= 3 .在OP的延长线上取点Q,使|PQ|=|PA|.当点P在极轴上方运动时,求点Q的轨迹的极坐标方程.解:设点Q,P的坐标分别是(,),(1,1),则=1.在POA中,|OP|=1= sin 3 sin 2 3 ,|PA|= sin sin 3 .又|OQ|=|OP|+|PQ|=|OP|+|PA|,化简可得=2acos 3 .故点Q的轨迹的极坐标方程为=2acos 3 .点评求曲线的极坐标方程,一般方法是构造三角形,利用直角三角形的边角关系或余弦定理列出关系式.,专题一,专题二,专题三,
