1、函数与方程,课题：方程的根与函数的零点,教学目标：1.熟练掌握二次函数的图象，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数。2.了解函数的零点与方程根的联系。3.认识到函数的图象及单调性在确定零点的作用。,提出问题：,一元二次方程 的根与二次函数 的图象有什么关系？,先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数的图象:,O,指出：（1）方程x2-2x-3=0的根与函数y= x2-2x-3的图象之间的关系；（2）方程x2-2x+1=0的根与函数y= x2-2x+1的图象之间的关系；（3）方程x2-2x+3=0的根与函数y= x2-2x+3的图象之间的关系.,有两个不等的实数根x1，x2,有两个相等
2、实数根x1=x2,没有实数根,一般地,一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的根与二次函数 y= ax2+bx+c (a0）的图象有如下关系：,(x1,0)， (x2,0),(x1,0),没有交点,结论：一元二次方程的根与相应的二次函数图象的关系是,推广到一般情形是:,函数y=f(x)的图象与x轴的交点情况,方程f(x)=0的实根情况,若一元二次方程有实数根,它的根就是相应二次函数的图象与x轴交点的横坐标;若一元二次方程没有实数根,则相应二次函数的图象与x轴没有交点.,想一想：推广到一般情形又怎样呢？,定义：对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点(zer
3、o point).,方程f(x)=0有实数根,函数y=f(x)的图象与x轴有交点,函数y=f(x)有零点,引出函数零点的概念,剖析概念,你能得出什么结论吗？,结论：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根。,想一想,怎样求函数的零点呢？,求函数的零点有两种方法：代数法:求方程f(x)=0的实数根；几何法:将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点。,下面我们来探究二次函数的零点情况,1、用代数法探究,结论：二次函数,(1)0,二次函数有两个零点；,(2)=0,二次函数有一个二重零点或二阶零点；,(3)0,二次函数没有零点。,2、用数形结合法探究(以 为例),观察二
4、次函数 的图象,填空：,在区间-2,1上有零点 ;f(-2)= ;f(1)= ;f(-2)f(1) 0。,在区间2,4上有零点 ;f(2)f(4) 0。,-1,5,- 4,3,想一想：怎样判断一个函数在给定区间上是否存在零点呢？,让我们来看一个例子,观察下面函数y=f(x)的图象,a,d,c,b,在区间a,b上 (有/无零点;f(a)f(b) 0.,在区间b,c上 (有/无零点);f(b)f(c) 0.,在区间c,d上 (有/无零点);f(b)f(c) 0.,有,有,有,？你知道判断一个函数在给定区间上是否存在零点的方法了吗？,如果函数y=f(x)在区间a,b上的图象是连续不断一条曲线，并且有
5、f(a)f(b)0，那么，函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.即存在c(a,b)，使得f(c )=0，这个c也就是方程f(x)=0的根.,结论,连续函数在某个区间上存在零点的判别方法：,思考:若函数y=f(x)在区间a,b上有零点，是否一定有f(a)f(b)0？,例1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数.,解：用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表（表3-1）和图象（图3.1-3）.,x 1 2 3 4 5 6 7 8 9f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972,表3-1,分析：先说明
6、它存在零点，再求零点的个数。,巩固深化,图3.1-3,由表3-1和图3.1-3可知，f(2)0，即f(2) f(3) 0，说明这个函数在区间(2,3)内有零点。由于函数f(x)在定义域(0,+)内是增函数，所以它仅有一个零点.,0 1 2 3 4,例2.函数 的零点所在的大致区间是( ),A . (1, 2) B . (2, 3),C . 和(3, 4) D . (e, +),分析:从已知的区间(a,b) ,求f(a),f(b),判断是否有f(a)f(b)0.,解:因为f(1)=-20,所以f(2)f(3)0,所以f(x)在(2,3)内有一个零点,选B.,例3. 若方程 在(0, 1)内恰有一解,求实数a的取值范围.,分析:令 ,由题意应有f(0)f(1)0,解出a.,解:令 ,因为方程在(0,1)内恰在一解,则f(0)f(1)1.,例4.二次函数 中,ac0,则函数的零点个数是( ).,A. 1个 B. 2个 C. 0个 D. 无法确定,分析:分析条件ac0,a是二次项系数,确定抛物线的开口方向, c=f(0), 所以ac=af(0)0,f(0)0,或,a0,所以函数必有两个零点,故选B.,小结,1、一元二次方程ax2+bx+c=0(a0）的根与二次函数y= ax2+bx+c (a0）的图象的关系；,2、函数零点的概念；,3、连续函数在某个区间上存在零点的判别方法。,再见,
