1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修2-2,数系的扩充与复数的引入,第三章,3.1数系的扩充与复数的概念,第三章,3.1.1数系的扩充与复数的概念,1.在问题情境中了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充过程中的作用2理解复数的有关概念，掌握复数的代数表示3理解复数相等的充要条件,重点：1.复数的概念与复数的代数形式2复数的分类难点：复数的概念及分类，复数相等,思维导航我们认识数的过程是先认识了自然数，又扩充到整数集，再扩充到有理数(分数、有限小数和无限循环小数)，再扩充无理数到实数集，但在实数集中，我们已知一元二次方程ax2bxc0(a0)，当b2
2、4ac0时无实数解，我们能否设想一种方法使得0时方程也有解呢？,数系的扩充与复数的概念,新知导学1数系扩充的原因、脉络、原则脉络：自然数系整数系有理数系实数系_原因：数系的每一次扩充都与实际需求密切相关，实际需求与数学内部的矛盾在数系扩充中起了主导作用,复数系,原则：数系扩充时，一般要遵循以下原则：(1)增添新元素，新旧元素在一起构成新数集；(2)在新数集里，定义一些基本关系和运算，使原有的一些主要性质(如运算定律)_适用；(3)旧元素作为新数集里的元素，原有的运算关系_；(4)新的数集能够解决旧的数集不能解决的矛盾,依然,保持不变,2对于方程x22x30，由于8，所以方程在实数范围内无解，若
3、引入一个新的数i，使得i21，则此方程的解可写成x1_，x2_.3复数的定义：形如abi(a、bR)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2_.这一表示形式叫做复数的代数形式，a与b分别叫做复数z的_与_全体复数构成的集合叫做_,1,实部,虚部,复数集,答案C,2若复数za232ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为_答案1或3,新知导学3复数相等的充要条件设a、b、c、d都是实数，那么abicdi_.4复数zabi(a、bR)，z0的充要条件是_，a0是z为纯虚数的_条件,复数的相等与复数的分类,ac且bd,a0且b0,必要不充分,b0,b0,牛刀小试3若复数(a1)(a21)i(aR
4、)是实数，则a()A1 B1C1 D不存在答案C解析(a1)(a21)i(aR)为实数的充要条件是a210，a1.,4若a2ibi1，a、bR，则a2b2_答案5,5若复数z(m1)(m29)i0，则实数m的值等于_答案3,6(2014微山一中高二期中)实数m分别取什么数值时，复数z(m25m6)(m22m15)i(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.解析由m25m60得，m2或m3，由m22m150得m5或m3.(1)当m22m150时，复数z为实数，m5或3；(2)当m22m150时，复数z为虚数，m5且m3.,分析(1)是两复数相等，用复数相等的充要条件判断；是复数比较
5、大小，必须全是实数才可比较；是在实数条件下x20求得结果，当x为复数时，x20未必成立；(4)要按复数是纯虚数的充要条件判断,复数的概念,解析由于x，yC，所以xyi不一定是复数的代数形式，不符合复数相等的充要条件，是假命题由于两个虚数不能比较大小，是假命题当x1，yi时x2y20成立，是假命题 当a1时，aR，但(a1)i0不是纯虚数答案0,方法规律总结学习本章必须准确理解复数的概念(1)复数的代数形式：若zabi，只有当a、bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b.(2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分,(3)虚数单位i的性
6、质i21.i与实数之间可以运算，亦适合加、减、乘的运算律由于i20与实数集中a20(aR)矛盾，所以实数集中很多结论在复数集中不再成立例如：复数集中不全是实数的两数不能比较大小,下列命题正确的是_若实数a与ai对应，则实数与纯虚数一一对应；若zabi，则当且仅当a0且b0时，z为纯虚数；复数i1的虚部为1.答案解析实数与纯虚数不能建立一一对应关系，故错；若zabi为纯虚数，则需a，bR且a0且b0，题目中漏掉条件a，bR，故错；显然正确,复数的分类,分析在本题是复数的标准形式下，即zabi(a，bR)，根据复数的概念，只要对实部和虚部分别计算，总体整合即可,方法规律总结1.判断一个含有参数的复
7、数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数，首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解2对于复数zabi(a、bR)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它3形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件bR 且b0时，形如bi的数才是纯虚数,实数k为何值时，复数z(k23k4)(k25k6)i是(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？(4)零？,复数相等的条件,方法规律总结找到两复数的实部与虚部后，根据复数相等的充要条件，实部与虚部分别相等即可求得x、y的值,已知M1，(m22m)(m2m2)i，P1，1,4i
8、，若MPP，则实数m的值为_答案1或2分析由MPP知，M是P的子集，从而可知(m22m)(m2m2)i1或4i，利用复数相等的条件可求得m的值,错解两个复数不能比较大小，故正确；设z1mi(mR)，z2ni(nR)z1与z2的虚部相等，mn，z1z2，故正确若a、b是两个相等的实数，则ab0，所以(ab)(ab)i是纯虚数，故正确综上可知：都正确，故选D.,辨析两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，错解中忽视了这一特殊情况导致错误；而错解将虚数与纯虚数概念混淆，事实上纯虚数集是虚数集的真子集，在代数形式上，纯虚数为bi(bR且b0)虚数为abi(a，bR，且b0)中要保证ab0才可能是纯虚数,正解两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，故是不正确的；设z1abi(a，bR，b0)，z2cdi(c，dR且d0)，bd，z2cbi.当ac时，z1z2，当ac时，z1z2，故是错误的，当ab0时，ab(ab)i是纯虚数，当ab0时，ab(ab)i0是实数，故错误，因此选A.,
