1、成才之路 数学,路漫漫其修远兮 吾将上下而求索,人教A版 选修2-22-3,推理与证明,第二章,2.3数学归纳法,第二章,数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(归纳奠基)证明当n取_时命题成立(归纳递推)假设_，证明_,第一个值n0(n0N*),nk(kn0， kN*)时命题成立,当nk1时命题也成立,知识点拨正确运用数学归纳法应注意的问题用数学归纳法证明关键在于“两个步骤要做到，递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”因此必须注意以下三点：(1)验证是基础数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0就是我们要证明的命题对象的最小自然数，这个自然数并
2、不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是我们正确运用数学归纳法第一个要注意的问题,(2)递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k1”的过程，必须把归纳假设“nk”作为条件来导出“nk1”时的命题，在推导过程中，要把归纳假设用上一次或几次,(3)正确寻求递推关系我们已经知道数学归纳法的第二步递推是至关重要的，如何寻求递推关系呢？在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项除此之外，多了哪些项，少了哪
3、些项都要分析清楚,答案C解析当n1时，2n12113，所以左边为123.故应选C.,答案D,答案B,数学归纳法的基本原理及用数学归纳法证明恒等式,规律总结用数学归纳法证明恒等式时，一是弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；二是弄清从nk到nk1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；三是证明nk1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝nk1证明目标的表达式变形,用数学归纳法证明不等式,规律总结用数学归纳法证明不等式和证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是：(1)在应用归纳假设证明过程中，方向不明确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明(2
4、)在推证“nk1时不等式也成立”的过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便于应用归纳假设，变换出要证明的结论,用数学归纳法证明整除问题,规律总结用数学归纳法证明整除问题时，首先从要证的式子中拼凑出假设成立的式子，然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除其中的关键是“凑项”，可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分析出因子，从而利用归纳假设使问题得到解决利用数学归纳法证明整除问题，由归纳假设P(k)能被p整除，证P(k1)能被p整除，也可运用结论：若P(k1)P(k)能被p整除P(k1)能被p整除或利用“P(k)能被P整除，存在整式q(k)，使P(k)Pq(k)”，将P(k1)变形转化分解因式产
5、生因式p.,归纳、猜想、证明,思路分析观察给出等式的特点，分析其规律可以发现，第n个等式左端是n个连续自然数的乘积，乘积的第一个自然数为n1，故左端为(n1)(n2)(2n)；第n个等式右端都由两部分乘积构成，前一部分为2n，后一部分为数列2n1的前n项的积，据此可作出猜想，用数学归纳法证明猜想的结论时，关键是将nk1时左端的式子中符合“nk时的等式左端部分用nk时等式的右端部分”代替后，进行变形,解析由题意得，221,34413,4568135,5678161357，猜想：(n1)(n2)(n3)2n2n135(2n1)，下面利用数学归纳法进行证明，证明：(1)当n1时，显然成立；,(2)假
6、设当nk时等式成立，即(k1)(k2)(k3)2k2k135(2k1)，那么当nk1时，(k11)(k12)(k13)2(k1)(k1)(k2)(2k)(2k1)22k135(2k1)(2k1)22k1135(2k1)2k11352(k1)1所以当nk1时等式成立根据(1)(2)可知对任意正整数等式均成立,规律总结1.计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的基础2归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论3证明：对一般结论用数学归纳法进行证明,辨析错解中的第二步没用到归纳假设，直接使用了等比数列的求和公式由于未用归纳假设，造成使用数学归纳法失误,点评在用数学归纳法证明中，两个基本步骤缺一不可其中，第一步是递推的基础，验证nn0时结论成立的n0不一定为1，根据题目要求，有时可为2、3等；第二步是递推的依据，证明nk1时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法,答案D解析当nk时，(k1)(k2)(kk)2k13(2k1)；当nk1时，(k11)(k12)(k1k1)2k1132(k1)1通过对比可知，增加了两项(2k1)、(2k2)，减少了一项(k1)故答案为D.,解析若n4时，该命题成立，由条件可推得n5命题成立它的逆否命题为：若n5不成立，则n4时该命题也不成立,
