1、3.4函数的应用,3.4.1函数与方程,第1课时函数的零点,1.函数的零点一般地,我们把使函数y=f(x)的值为0的实数x称为函数y=f(x)的零点.交流1方程的根与函数的零点有何关系?函数的零点是一个点吗?提示确定函数y=f(x)的零点,就是求方程f(x)=0的根.故函数的零点不是一个点,而是一个实数.2.函数零点的存在性定理一般地,若函数y=f(x)在区间a,b上的图象是一条不间断的曲线,且f(a)f(b)0,则函数y=f(x)在区间(a,b)上有零点.,交流2若函数y=f(x)在区间a,b上的图象不连续,当f(a)f(b)0,方程x2-x-6=0有两个不相等的实数根x1=-2,x2=3.
2、函数f(x)=x2-x-6的零点是x1=-2,x2=3.方法二:由f(x)=x2-x-6=(x-3)(x+2)=0,得x1=-2,x2=3.函数f(x)=x2-x-6的零点为x1=-2,x2=3.(2)x3-x=x(x2-1)=x(x-1)(x+1),令f(x)=0,得x(x-1)(x+1)=0.f(x)的零点为x1=0,x2=1,x3=-1.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,2.求下列函数的零点:(1)f(x)=ax+1;(2)f(x)=x2+7x-8;(3)f(x)=-x3+9x.解(1)令f(x)=0,即ax+1=0.当a=
3、0时,方程无实数根,即函数无零点.(2)令f(x)=0,即x2+7x-8=0.=72-41(-8)0,方程有两个不相等的实数根,分别为x1=1,x2=-8,函数f(x)的零点为1,-8.(3)令f(x)=0,即-x3+9x=0,x3-9x=0,因式分解,得x(x-3)(x+3)=0,x1=0,x2=3,x3=-3.函数f(x)有三个零点分别为0,3,-3.,典例导学,即时检测,一,二,三,根据函数零点的定义,求函数f(x)的零点就是求使f(x)=0的x的值,即方程f(x)=0的根.一般求法是:代数法:解方程的思想.如求一元二次方程f(x)=0的实数根常用求根公式、分解因式等方法;几何法:函数y
4、=f(x)的图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、判断零点个数判断下列函数的零点个数:思路分析(1)中f(x)为二次函数,可直接判断对应的一元二次方程根的个数;(2)中求函数的零点可直接解相应的方程或转化为两个熟知的基本初等函数,看两个函数图象交点的个数即可.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,求函数f(x)=log2x-2-x的零点个数. (导学号51790106)解方法一:因为函数y=log2x是增函数,函数y=2-x是减函数,所以函数f(x)=log2x-2-x是增函数,且在(0,+)上图象是不间断的.又因为所以f(x)
5、=log2x-2-x只有一个零点.,典例导学,即时检测,一,二,三,方法二:由零点的定义可知,即求方程f(x)=0的解的个数,即log2x-2-x=0解的个数,移项得log2x=2-x.构造函数y1=log2x及y2=2-x,方程log2x-2-x=0的根的个数即为两个函数图象的交点的个数.因为两个函数图象只有一个交点,如图所示,所以方程log2x-2-x=0只有一个实根,从而函数f(x)=log2x-2-x只有一个零点.,典例导学,即时检测,一,二,三,判断函数零点个数的主要方法:(1)利用方程根,转化为解方程,有几个根就有几个零点.(2)画出函数y=f(x)的图象,判定它与x轴的交点个数,
6、从而判定零点的个数.(3)结合单调性,利用f(a)f(b)0,解得a(-,1).,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,3.已知e是自然对数的底数,函数f(x)=ex+x-2的零点为a,函数g(x)=ln x+x-2的零点为b,则下列不等式中成立的是(). (导学号51790109)A.f(a)f(1)f(b)B.f(a)f(b)f(1)C.f(1)f(a)f(b)D.f(b)f(1)f(a)答案:A,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,5.函数f(x)=x2+ax+b有两个零点-1,6,则a,b的值分别为. (导学号51790110)答案:-5,-6解析:由题意,-1,6是方程x2+ax+b=0的两根.由根与系数的关系,知-a=-1+6,b=-16,a=-5,b=-6.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,6.证明函数f(x)=ex+x-2在区间(0,1)内有零点. (导学号51790111)证明f(0)=e0+0-2=-10,f(0)f(1)0.又函数f(x)=ex+x-2在区间(0,1)内的图象是不间断的,函数f(x)=ex+x-2在区间(0,1)内有零点.,
