1、12排列与组合,计数原理,12.1排列(二),1运用公式解决一些简单的排列问题2掌握一些有附加条件的排列应用题的基本解法,基础梳理,1对附有限制条件的排列，思考问题的原则是优先考虑受限制的元素或受限制的位置2对下列附有限制条件的排列，要掌握基本的思考方法：元素在某一位置或元素不在某一位置；元素相邻捆绑法，即把相邻元素看成一个元素；元素不相邻插空法；比某一数大或比某一数小的问题主要考虑首位或前几位,例如：(1)5名成人带两个小孩排队上山，小孩不排在一起也不排在头尾，则不同的排法有_种(2)把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同排法的种数为_3对附有限制条件的排列要掌握正向思考问题的方
2、 法直接法；同时要掌握一些问题的逆向思考问题的方法间接法,自测自评,1从5本不同的书中选两本送给2名同学，每人一本，共有_种给法()A5 B10 C20 D6026人站成一排，甲、乙、丙3人必须站在一起的所有排列的总数为()A B3C D4!3!,C,D,3(2012年烟台检测)用0,1,2,3,4排成无重复数字的五位数，要求偶数字相邻，奇数字也相邻，则这样的五位数的个数是()A36个B32个C24个D20个4(2011年北京丰台区期末)有5名同学被安排在周一至周五值日，已知同学甲只能值周一或周二，那么5名同学值日顺序的编排方案共有()A24 B48 C96 D120,B,解析：奇数排在前：
3、=12(种)； 偶数排在前： =8(种). 故共有12+8=20种，选D.答案：D,数字排列问题,用0,1,2,3,4,5这六个数字可以组成多少个无重复的满足下列条件的数字？(1)六位奇数；(2)个位数字不是5的六位数；(3)不大于4 310的四位偶数分析：奇、偶数问题是选特殊位置：对个位进行限制，又因为“0”的存在，首位也是特殊位置，因此“0”、首位和末位要同时考虑正面情况较复杂时，可用间接法求解,解析：(1)法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成第一步：先填个位，有 种填法；第二步：再填十万位，有 种填法；第三步：填其他位，有 种填法故共有 288个六位奇数本小题第一步若先填十万位，则个
4、位上数字的填法与十万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位法二：【从特殊元素入手(直接法)】0不在两端有 种排法，从1,3,5中任选一个排在个位有种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有 种排法，故共有 288个六位奇数,法三（间接法）6个数字的全排列有 个，0,2,4在个位上的排列数为3 个，1,3,5在个位上，0在十万位上的排列数有3 个，故对应的六位奇数的排列数为 288(个)(2)法一（间接法）0在十万位和5在个位的排列都是不符合题意的六位数，这两类排列中都含有0在十万位和5在个位的情况故符合题意的六位数共有 504(个),法二：【直接法 (个位不排5时，排0不排0
5、分类计算)】个位不排5，有 种排法，但十万位数字的排法因个位上排0与不排0而有所不同因此需分两类第一类：当个位排0时，有 个第二类：当个位不排0时，有 个故共有符合题意的六位数角 504(个)(3)直接法当千位上排1,3时，有 个,当千位上排2时，有 个当千位上排4时，形如40，42的各有 个，形如41的有 个，形如43的只有4 310和4 302这两个数，故共有 110(个),点评：（1）第一步若先填十万位，则个位上数字的填法与十万位上所填数字是奇数还是偶数有关，故需分类，因此最好先填个位 (2)中易忽视0不能排首位而得 600个的错误结论,跟踪练习,1用0,1,2,3,4,5这六个数字：(
6、1)能组成多少个无重复数字的四位偶数？(2)能组成多少个无重复数字且为5的倍数的五位数？(3)能组成多少个比1 325大的无重复数字的四位数？,排列节目问题,要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法？,解析：先将6个歌唱节目排好，其不同的排法为 种，这6个歌唱节目的空隙及两端共七个位置中再排4个舞蹈节目有 种排法由分步计数原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为 种,点评：相离问题插空法不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其他元素将它隔开，此类问题可以先将其他元素排好，再将所指定的不相邻的元素插入到它们的空隙及两端位置，故称“插空法”
7、.,跟踪练习,24名男生和4名女生站成一排(1)男生不相邻的站法有多少种？ (2)女生不相邻的站法有多少种？(3)男、女生相间的站法有多少种？(可不必计算出数值),排队问题,3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方案的方法种数(1)选5名同学排成一行；(2)全体站成一排，其中甲只能在中间或两端；(3)全体站成一排，其中甲、乙必须在两端；(4)全体站成一排，其中甲不在最左端，乙不在最右端；(5)全体站成一排，男、女各站在一起；(6)全体站成一排，男生必须排在一起；,(7)全体站成一排，男生不能排在一起；(8)全体站成一排，男、女生各不相邻；(9)全体站成一排，甲、乙中间必须有2人；
8、(10)全体站成一排，甲必须在乙的右边；(11)全体站成一排，甲、乙、丙三人自左向右顺序不变；(12)排成前后两排，前排3人，后排4人分析：先分析清楚是无限制条件的排列问题，还是有限制条件的排列问题若是无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式计算；若是有限制条件的排列问题，则要搞清楚限制条件是对元素还是对位置要求的，再选择是用直接法还是间接法计算,解析：(1)无限制条件的排列问题，只要从7名同学中任选5名排列，即可得共有N 765432 520(种)(2)(直接分步法)先考虑甲有 种方案，再考虑其余六人全排，故N 2 160(种)(3)(直接分步法)先安排甲、乙有A22种方案，再安排其余5人全
9、排，故N 240(种)(4)法一：直接分类法按甲是否在最右端分两类：第一类：甲在最右端时，有N1 ，,第二类：甲不在最右端时，甲有 个位置可选，而乙只有 个位置，而其余全排 ，N2 ，故NN1N2 3 720(种)法二：间接法无限制条件的排列数共有 ，而甲(或乙)在左端(或右端)的排法有 ，且甲在左端同时乙在右端的排法有 ，故N 3 720(种)(5)相邻问题(捆绑法)男生必须站在一起，是男生的全排列，有 种排法；,女生必须站在一起，是女生的全排列，有 种排法；全体男生、女生各视为一个元素，有 种排法由分步计数原理知，共有 288(种)(6)捆绑法即把所有男生视为一个元素，与4名女生组成5个元
10、素全排，故N 720(种)(7)不相邻问题(插空法)先排女生共 种排法，男生在4个女生隔成的五个空隙中安排有 种排法，故N 1 440(种),(8)对比(7)让女生插空：N 144(种)(9)(捆绑法)任取2人与甲、乙组成一个整体，与余下3个元素全排，故N 960(种)(10)甲与乙之间的左右关系各占一半，故N 2 520(种),(11)甲、乙、丙自左向右顺序保持不变，即为所有甲、乙、丙排列的 ，N 840(种)(12)直接分步完成共有 5 040(种),点评：(1)对于有限制条件的排列问题，先考虑安排好特殊元素(或位置)，再安排一般的元素(或位置)，即先特殊后一般，此方法一般是直接分步法；或
11、按特殊元素当选情况(或特殊位置由哪个元素占)分类，再安排一般的元素(或位置)，即先分类后分步，此方法一般是直接分类法；也可以先不考虑特殊元素(或位置)，而列出所有元素的全排列数，从中再减去不满足特殊元素(或位置)要求的排列数，即先全体后排除，此方法一般是间接法(排除法)(2)特别地，关于某些元素“相邻”、“不相邻”或“定序”的问题，应遵循“先整体，后局部”的原则元素相邻问题，一般用“捆绑法”；不相邻问题，一般用“插空法”；“定序”问题，一,般用排除法：N .,跟踪练习,3有5名男生，4名女生排成一排(1)从中选出3人排成一排，有多少种排法？(2)若甲男生不站排头，乙女生不站排尾，则有多少种不同
12、的排法？,1(2012年辽宁卷)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3 C(3！)4 D9!解析：把一家三口看作一个排列，再排列这3家有(3！)4种答案：C,2. 6名同学排成一排，其中甲、乙 两人必须排在一起的不同排法有（ ）A.720 B.360 C.240 D.120解析：捆绑法.答案：C,35个人排成一排，如果甲必须站在排头或排尾，而乙不能站在排头或排尾，那么不同站法的种数为()A18 B36 C48 D60,答案：B,4A，B，C，D，E五人站成一排，如果A，B必须相邻，且B在A的右边，那么不同排法的种数有()A60 B48 C
13、36 D24,5若直线方程AxBy0的系数A、B可以从0,1,2,3,6,7这六个数字中取不同的数值，则这些方程所表示的直线条数是()A18 B20 C12 D22,D,A,6从6人中选4人分别到巴黎、伦敦、悉尼、莫斯科四个城市游览，要求每个城市有一人游览，每人只游览一个城市，且这6人中甲、乙两人不去巴黎游览，则不同的选择方案共有()A300种 B240种 C144种 D96种,答案：B,7有七名同学站成一排照毕业照，其中甲必须站在中间，并且乙、丙两位同学要站在一起，则不同的站法有_种,答案：192,8用1,2,3,4,5这五个数字组成比20 000大，且百位数字不是3的没有重复数字的五位数，
14、共有_个,答案：78,9从6名运动员中选4人参加4100米接力赛，其中甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有_种不同的安排方法,答案：252,117名班委中有A，B，C三人，有7种不同的职务现对7名班委进行职务具体分工(1)若正、副班长两职只能从A，B，C三人中选两人担任，则有多少种分工方案？(2)若正、副班长两职至少要选A，B，C三人中的一人担任，则有多少种分工方案？,12.在3 000与8 000之间：(1)有多少个没有重复数字且能被5整除的奇数；(2)有多少个没有重复数字的奇数,解析：(1)能被5整除的奇数，个位上只能是5，按条件，千位上可以是3,4,6,7中的任意一个，其余两个数字可以是余下
15、数字中的任意两个，故适合题意的数字的个数共有4 224(个),(2)按题要求，个位可以是1,3,5,7,9中任意一个，千位上可以是3,4,5,6,7中的任意一个因为个位数字与千位数字不能重复，所以可分以下两类第一类个位是1,9，千位可以是3,4,5,6,7中任意一个，这样的奇数有：5 560(个); 第二类个位是3,5,7，千位是4,6或3,5,7中与个位不重复的数字中的任意一个，故满足上述条件的奇数有 672(个)由分类计数原理知，所求奇数为5606721 232(个),1无限制条件的排列应用题解决问题的方法是把问题转化为排列问题弄清这里n个不同元素指的是什么，以及从n个不同元素中任取m个元
16、素的每一种排列对应的是什么事情，即把要计算的数转化为一个排列数，直接利用排列数公式计算2有限制条件的排列应用题所谓有限制条件的排列问题是指某些元素或位置有特殊要求解决此类问题常从特殊元素或特殊位置入手进行解决，常用的方法有直接法和间接法直接法又有分步法和分类法两种,(1)直接法分步法按特殊元素或特殊位置优先安排，再安排一般元素(或位置)，依次分步解决，特别地：a当某些特殊元素要求必须相邻时可以先将这些元素看作一个整体，与其他元素排列后，再考虑相邻元素的内部排序，这种分步法称为“捆绑法”，即“相邻元素捆绑法”b当某些特殊元素要求不相邻时，可以先安排其他元素，再将这些不相邻元素插入空当，这种方法称
17、为“插空法”，即“不相邻元素插空法”,分类法直接按特殊元素当选情况或特殊位置安排进行分类解决，即直接分类法特别地，当某些元素按一定顺序排列时，可用“等机率法”，即n个不同元素参加排列，其中m个元素的顺序是确定的，这类问题的解法是采用分类法：n个不同元素的全排列 有 种排法，m个元素的排列有 种排法，因此 种排法中，关于m个元素的不同分法有 类，而且每一分类的排法数是一样的，当这m个元素顺序确定时，共有 种排法，另外此类问题也可以用 计算,(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即“间接法”.,感谢您的使用，退出请按ESC键,本小节结束,
