1、1掌握空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示2掌握空间向量平行、垂直条件的坐标表示，能够应用坐标运算证明空间两个向量的平行和垂直3掌握两个向量的夹角与向量长度的坐标计算公式,重点：空间向量的坐标运算，空间向量平行和垂直、夹角、长度的坐标计算公式难点：空间向量平行、垂直的条件及两个向量的夹角、向量长度的坐标计算公式,1设i，j，k为单位正交基底，即i(1,0,0)，j(0,1,0)，k(0,0,1)，在此基底下，a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，即aa1ia2ja3k，bb1ib2jb3k，根据向量线性运数与数量积运算的定义及运算律，可得出ab，a，ab，ab，ab，|a
2、|及cosa，b的坐标表示将i，j，k的起点移到同一点O，以i，j，k的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则对空间任一点P，相对于原点确定了一个向量，设,2空间向量的坐标运算类似于平面向量的坐标运算，牢记运算公式是应用的关键这些公式为我们用向量的知识解决立体几何问题提供了有力的工具3运用空间向量解决立体几何问题，先要考察原图形是否方便建立直角坐标系，将问题中涉及的点、线(向量)、面(向量的线性组合)用坐标表示，如果容易表示则先建系，将点用坐标表示出来，然后，利用垂直、平行、共面的条件通过向量运算推证有关结论，利用向量的模、向量夹角的计算公式来求线段长度及角，最后将计
3、算的结果转化为几何结论；,当图形中的点不方便用坐标表示时，可直接设出向量的基底，将各条件、结论中涉及的向量表示为基底的线性组合，再运用向量线性运算及内积运算的规则进行推理、计算最后转化为相应几何结论,1空间向量的加减和数乘的坐标表示设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab；(2)ab；(3)a；(4)ab(b0),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1b1，a2b2，a3b3),(a1，a2，a3)(R),2空间向量数量积的坐标表示及夹角公式设a(a1，a2，a3)，b(b1，b2，b3)，则(1)ab.,a1b1a2b2a3b3,3空间向量的坐标及两点间的距离公式在空
4、间直角坐标系中，设A(a1，b1，c1)，B(a2，b2，c2)，则,例1已知a(1,1,0)，b(0,1,1)，c(1,0,1)，pab，qa2bc，求p，q，pq.解析pab(1,1,0)(0,1,1)(1,0，1)；qa2bc(1,1,0)2(0,1,1)(1,0,1)(0,3,1)；pq(1,0，1)(0,3,1)1003(1)11.,已知向量a(2，3,1)，b(2,0,3)，c(0,0,2)，则：(1)a(bc)_；(2)(a2b)(a2b)_.答案938解析(1)bc(2,0,5)，a(bc)(2，3,1)(2,0,5)9.|a|24|b|238.,例2已知向量a(2,2,0)，
5、b(2,0,2)，求单位向量n，使na，且nb.解析设n(x，y，z)，则na2x2y0(1)nb2x2z0(2),设向量a(3,5，4)，b(2,1,8)，计算2a3b,3a2b，ab，并确定，的关系，使ab与z轴垂直分析前三者只需按向量坐标运算公式计算即可，而确定，的关系，使ab与z轴垂直，只要将(ab)(0,0,1)0转化为，的关系即可,解析2a3b2(3,5，4)3(2,1,8)(12,13,16)3a2b3(3,5，4)2( 2,1,8)(5,13，28)ab(3,5，4) (2,1,8)21.由(ab)(0,0,1)(32，5，48)(0,0,1)480知2，只要，满足2即可使ab
6、与z轴垂直点评由本例的求解可知，要使一向量a(x1，x2，x3)与z轴垂直，只要x30即可，事实上，要使向量a与哪一个坐标轴垂直，只要向量a的相应坐标为零即可，且反之亦真,例3设a(1,5，1)，b(2,3,5)，若(kab)(a3b)，求k.分析由向量线性运算的坐标表示可求出kab，a3b，再由向量共线的坐标表示可求出k.,若四边形ABCD为平行四边形，且A(4,1,3)，B(2，5，1)，C(3,7，5)，则顶点D的坐标为()B(2,3,1)C(3,1,5) D(5,13，3)答案D,例4在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是D1D、BD的中点，G在棱CD上，且CG C
7、D，H为C1G的中点，应用空间向量方法求解下列问题(1)求证：EFB1C；(2)求EF与C1G所成的角的余弦值分析根据正方体的特殊性，可考虑建立空间直角坐标系，写出相关点及向量的坐标，应用数量积、夹角公式即可,点评应用空间向量的坐标运算解决立体几何问题，使复杂的线面关系的论证、角、距离的计算得以简化,在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别为A1D1、BB1的中点，则EAF_，EF_.,例5(2010山东济南4月)已知四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，底面ABCD为菱形，ABC60，AB2PA，E是线段BC中点(1)判断PE与AD关系；(2)在线段PD上是否存在一点F，使得CF平面P
8、AE，并给出证明,辨析首先应建立适当的空间直角坐标系，其次用向量表示形式验证求解正解四边形ABCD是ABC60的菱形，E为边BC的中点，AEBC，AEAD，又PA平面ABCD，PAAE，PAAD，以AE、AD、AP分别为x、y、z轴建立坐标系如图，设AB2，,答案B,答案B,3已知A、B、C三点的坐标分别为A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，)，若则等于()A28 B28C14 D14答案D,二、填空题4已知a(2，3,0)，b(k,0,3)，120，则k_.,5(1)已知向量a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，则x_，y_.(2)已知：a(2,4，x)，b(2，y,2)，若|a|6，且ab，则xy_.,三、解答题6正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱D1D的中点，P、Q分别为线段B1D1、BD上的点，且3B1PD1P，BD4DQ，求证：PQAE.,
