1、掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题,3.1.3 空间向量的数量积运算,【课标要求】,【核心扫描】,空间向量的数量积运算(重点)利用空间向量的数量积求夹角及距离(难点)空间向量数量积的运算律(易错点),1,2,1,2,3,1空间向量的夹角,自学导引,a，b,0，,ab,想一想：a，b与b，a相等吗？a，b与a，b呢？提示a，bb，a，a，ba，b空间向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a，b，则|a|b|cos a，b叫做a，b的数量积，记作ab.(2)数量积的运算律,2,(a
2、b),ba,abac,(3)数量积的性质,想一想：类比平面向量，你能说出ab的几何意义吗？提示数量积ab等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos 的乘积,空间向量夹角的理解(1)任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两平面向量夹角范围一样，即0，；,名师点睛,平面向量与空间向量数量积的关系由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同,1,2,空间向量数量积的应用由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以立体几何中的许多问题，如距离、夹角、垂直等问题
3、的求解，都可借助于向量的数量积运算解决,(2)abab0，用于判断两个向量的垂直(3)|a|2aa，用于对向量模的计算，求两点间的距离或线段的长度,3,注意：数量积运算不满足消去律若a，b，c(b0)为实数，则abbcac；但对于向量就不正确，即abbc(b0)/ ac.数量积运算不满足结合律数量积的运算只适合交换律，分配律及数乘结合律，但不适合乘法结合律，即(ab)c不一定等于a(bc)这是由于(ab)c表示一个与c共线的向量，而a(bc)表示一个与a共线的向量，而c与a不一定共线,题型一利用数量积求夹角,如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，
4、求OA与BC所成角的余弦值,【例1】,规律方法 在异面直线上取两个向量，则两异面直线所成角的问题可转化为两向量的夹角问题需注意的是：转化前后的两个角的关系可能相等也可能互补,如图所示，已知S是边长为1的正三角形ABC所在平面外一点，且SASBSC1，M、N分别是AB、SC的中点，求异面直线SM与BN所成角的余弦值,【变式1】,如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长,题型二利用数量积求两点间的距离,【例2】,如图，已知线段AB平面，BC，CDBC，DF平面，且DCF30，D与A在的同侧，若ABBCCD2，求A，D两
5、点间的距离,【变式2】,(12分)已知空间四边形OABC中，AOBBOCAOC，且OAOBOC，M、N分别是OA、BC的中点，G是MN的中点求证：OGBC.,题型三利用数量积证明垂直关系,【例3】,如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.,【变式3】,把空间向量转化为平面向量，把立体几何问题转化为向量问题来解决是转化与化归思想在本节中的应用 如图所示，在ABCD中，AD4，CD3，ADC60，PA平面ABCD，PA6，求线段PC的长,方法技巧转化与化归思想在立体几何中的应用,【示例】,方法点评 把线段的长转化为向量的模是解决该类问题常用的解 题方法用已知向量表示目标向量是解决该类问题的关键,单击此处进入 活页规范训练,
