1、1.3.2函数的极值与导数,目标导航,预习导引,目标导航,预习导引,1,2,1.极值点与极值(1)极小值点与极小值如下图,函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f(a)=0;而且在点x=a附近的左侧f(x)0,把点a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.,目标导航,预习导引,1,2,(2)极大值点与极大值如上图,函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f(b)=0;在点x=b附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,右侧f(x)0,那么f(x0)是极小值.,预习交流2做一做:函数f(x
2、)=3x-x3的极大值为,极小值为.,提示:f(x)=3-3x2,令f(x)=0得x=1,由极值的定义可得函数的极大值为f(1)=2,极小值为f(-1)=-2.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一、求函数的极值点或极值利用导数求函数f(x)极值的步骤:(1)确定函数的定义区间,求导数f(x);(2)求方程f(x)=0的所有实数根;(3)考察在每个根x0附近,从左到右导函数f(x)的符号如何变化.如果f(x)的符号由正变负,则f(x0)是极大值;如果由负变正,则f(x0)是极小值;如果在f(x)=0的根x=x0的左、右侧f(x)的符号不变,则不是极值点.,一,二,三,知识精要,典题例解
3、,迁移应用,四,C.x=2为f(x)的极大值点D.x=2为f(x)的极小值点,思路分析:首先从方程f(x)=0入手,求出在函数f(x)的定义域内所有可能的极值点,然后按照函数极值的定义判断这些点是否为极值点.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,(1)答案:D,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,由上表可以看出:当x=-1时,函数有极小值,且f(-1)=-3;当x=1时,函数有极大值,且f(1)=-1.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,二、已知函数的极值求参数 (1)已知函数极值情况,逆向
4、应用确定函数的解析式,进而研究函数性质时,注意两点:常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组,利用待定系数法求解.因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件,所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性.(2)对于可导函数f(x),若它有极值点x0,则必有f(x0)=0,因此函数f(x)有极值的问题,往往可以转化为方程f(x)=0有根的问题,从而可借助方程的知识进行求解.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,已知函数f(x)=ax3+bx+2在x=1处取得极值,且极值为0.(1)求a,b的值;(2)求f(x)的另一个极值,思路分析:由极值的定义可知f(1)=0,再结合f
5、(1)=0,建立关于a,b的方程即可求得a,b的值,从而得出另一个极值.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,1.若函数f(x)=x3-6bx+3b在区间(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,2.已知函数f(x)=x3-bx2+2cx的导函数的图象关于直线x=2对称.(1)求b的值;(2)若函数f(x)无极值,求c的取值范围.,解:(1)f(x)=3x2-2bx+2c,(2)由(1)知,f(x)=x3-6x2+2cx,f(x)=3x2-12x+2c=3(x
6、-2)2+2c-12,当c6时,f(x)0,此时函数f(x)无极值.故c的取值范围为c6.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,三、函数极值的综合应用1.利用导数可探究出函数的单调性与极值情况,据图象走势及最高点、最低点画出函数的大致图象.2.研究方程根的个数问题时,可利用数形结合的思想方法,将问题转化为两函数图象交点个数的问题,然后借助函数的单调性和极值情况进行求解.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,【例3】 已知f(x)=x3+bx2+cx+2.(1)若f(x)在x=1时有极值-1,求b,c的值.(2)在(1)的条件下,若函数y=f(x)的图象与函数y=k的图象恰有三个不同
7、的交点,求实数k的取值范围.,思路分析:(1)由f(1)=-1,f(1)=0建立方程组求出b,c的值.(2)利用导数研究函数的单调性与极值,作出函数图象的草图,数形结合求k的范围.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,(1)若f(x)在x=0处取得极值,确定a的值,并求此时曲线y=f(x)在点(1,f(1)处的切线方程;(2)若f(x)在3,+)上为减函数,求a的取值范围.,一,二,三,知识精要,典题例解,迁移应用,案例探
8、究,误区警示,含参数极值的求解问题已知f(x)=2ln(x+a)-x2-x在x=0处取得极值.(1)求实数a的值.(2)若关于x的方程f(x)+b=0在区间-1,1上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围.,思路分析:解析式中含有参数a,且对数式中的真数是x+a,又函数在x=0处取得极值,可用函数取得极值的必要条件求解参数.方程f(x)+b=0在区间-1,1上恰有两个不同的实数根,说明函数g(x)=f(x)+b的图象在区间-1,1与x轴有两个不同的交点,可求出函数的极值,利用数形结合求解参数b的范围.,防范措施,案例探究,误区警示,由上表可知函数在x=0处取得极大值,极大值为2ln 2+b.
9、要使f(x)+b=0在区间-1,1上恰有两个不同的实数根,防范措施,案例探究,误区警示,防范措施,要使f(x)+b=0在区间-1,1上恰有两个不同的实数根,案例探究,误区警示,防范措施,案例探究,误区警示,防范措施,1.牢记常用的结论对于利用导数求函数的极值问题,要牢固掌握函数取得极值的必要条件和求极值的一般方法,要对求得的导数为零的值进行检验,如本例要对a=2进行检验,否则可能会产生错误.2.定义域优先原则讨论函数问题,首先要考虑函数的定义域,在本例中由于对数式中含有变量,故求解时先求函数的定义域.3.数形结合思想的应用解决函数问题,特别是在已知函数单调性的情况下,可画出函数的大致图象,如在本例处,利用图形会使问题变得直观、明了.,
