1、函数值域的求法,一、配方法,形如 y=af 2(x)+bf(x)+c(a0) 的函数常用配方法求函数的值域, 要注意 f(x) 的取值范围.,例1 (1)求函数 y=x2+2x+3 在下面给定闭区间上的值域:,二、换元法,通过代数换元法或者三角函数换元法, 把无理函数、指数函数、对数函数等超越函数转化为代数函数来求函数值域的方法(关注新元范围).,例2 求下列函数的值域:,-4, -3; -4, 1; -2, 1; 0, 1.,6, 11;,2, 11;,2, 6;,3, 6.,三、判别式法,例6 求下列函数的值域:,-1, 1,4, +),能转化为 A(y)x2+B(y)x+C(y)=0 的
2、函数常用判别式法求函数的值域.,1.求下列函数的值域:,值域课堂练习题,(1)(-, 3)(3, +),(2)(-, 4,(4)3, +),(8)-1, +),解: f(x) 的定义域为 R,mx2+8x+n0 恒成立.,=64-4mn0.,则 1y9.,变形得 (m-y)x2+8x+(n-y)=0,当 my 时, xR, =64-4(m-y)(n-y)0.,整理得 y2-(m+n)y+mn-160.,解得 m=5, n=5.,当 m=y 时, 方程即为 8x+n-m=0, 这时 m=n=5 满足条件.,故所求 m 与 n 的值均为 5.,求函数值域方法很多，常用配方法、换元法、判别式法、不等
3、式法、反函数法、图像法（数形结合法）、函数的单调性法以及均值不等式法等。这些方法分别具有极强的针对性，每一种方法又不是万能的。要顺利解答求函数值域的问题，必须熟练掌握各种技能技巧，根据特点选择求值域的方法，下面就常见问题进行总结。,例1 求函数,如图，y-3/4,3/2.,分析：本题是求二次函数在区间上的值域问题，可用配方法或图像法求解。,例2 求函数,分析：函数是分式函数且都含有二次项，可用判别式和单调性法求解。,解法1：由函数知定义域为R,则变形可得： (2y-1)x2-(2y-1)x+(3y1)=0.当2y-1=0即y=1/2时，代入方程左边1/23-10,故1/2.当2y-10,即y 1/2时，因xR,必有=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1) 0得3/10y1/2,综上所得，原函数的值域为y3/10,1/2.,例3 求下列函数的值域：（1） y=5-x+3x-1；,分析：带有根式的函数，本身求值域较难，可考虑用换元法将其变形，换元适当，事半功倍。,
