1、掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念会求简单的抛物线的方程,2.4.1 抛物线及其标准方程,2.4抛物线,【课标要求】,【核心扫描】,抛物线的定义及其标准方程的求法(重点)抛物线定义及方程的应用(难点),1,2,1,2,抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(不经过点F)_的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的_，直线l叫做抛物线的_ 试一试：在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？提示当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线,自学导引,1,距离相等,焦点,准线,抛物线标准方程的几种形式,2,y22px(p0
2、),y22px(p0),x22py(p0),x22py(p0),想一想：已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？提示一次项变量为x(或y)，则焦点在x轴(或y轴)上；若系数为正则焦点在正半轴上；系数为负，则焦点在负半轴上焦点确定，开口方向也随之确定,抛物线定义的理解(1)抛物线定义的实质可归结为“一动三定”，一个动点，设为M；一个定点F即抛物线的焦点；一条定直线l即抛物线的准线；一个定值即点M与点F的距离和它到直线l的距离之比等于1.(2)在抛物线的定义中，定点F不能在直线l上，否则，动点M的轨迹就不是抛物线，而是过点F垂直于直线l的一条直线如到点F(1，0)与到直线l：xy
3、10的距离相等的点的轨迹方程为xy10，轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线,名师点睛,1,抛物线标准方程的特点,2,题型一求抛物线的标准方程,分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)焦点为(2，0)；(2)准线为y1；(3)过点A(2，3)；,【例1】,思路探索 式求抛物线方程要先确定其类型，并设出标准方程，再根据已知求出系数p.若类型不能确定，应分类讨论,p2，抛物线标准方程为x24y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2mx(m0)或x2ny(n0)，将点A(2，3)的坐标代入，得32m2或22n3，,规律方法 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的
4、标准方程，求出p值即可若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2ax(a0)，焦点在y轴上的抛物线方程可设为x2ay(a0),根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)经过点(3，1)；(2)焦点为直线3x4y120与坐标轴的交点解(1)点(3，1)在第三象限，设所求抛物线的标准方程为y22px(p0)或x22py(p0),【变式1】,如图，已知抛物线y22x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，求|PA|PF|的最小值，并求此时P点坐标,题型二抛物线定义的应用,【例2】,思路探索 解题的关键是利用抛物线的定义得到|PA|PF|PA|PQ|，由图可
5、知当A、P、Q三点共线时取最小值解如图，作PQl于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求|PA|PF|的最小值的问题可转化为求|PA|d的最小值的问题,规律方法 抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等,已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为 (),【变式2】,解析 如图，由抛物线定义知|PA|PQ|PA|PF|，则所求距离之和的最小值转化
6、为求|PA|PF|的最小值，则当A、P、F三点共线时，|PA|PF|取得最小值,答案A,(12分)一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线型的隧道，已知拱口宽恰好是拱高的4倍，若拱口宽为a m，求使卡车通过的a的最小整数值审题指导 本题主要考查抛物线知识的实际应用解答本题首先建系，转化成抛物线的问题，再利用解抛物线的问题解决,题型三抛物线的实际应用,【例3】,【题后反思】 在建立抛物线的标准方程时，常以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系，这样可使得标准方程不仅具有对称性，而且曲线过原点，方程不含常数项，形式更为简单，便于应用,某河上有一座抛物线形的拱桥，当水面距拱顶
7、5米时，水面宽8米，一木船宽4米，高2米，载货的木船露在水面上的部分为0.75米，当水面上涨到与拱顶相距多少时，木船开始不能通航？,【变式3】,解 以桥的拱顶为坐标原点，拱高所在的直线为y轴建立直角坐标系(如图)设抛物线的方程是x22py(p0)由题意知A(4，5)在抛物线上，,在讨论直线与圆锥曲线位置关系、求最值等问题时，运用数形结合的思想，能化难为易，化抽象为具体，使问题迅速获解 已知AB为抛物线yx2上的动弦，且|AB|a(a为常数且a1)，求弦AB的中点M离x轴的最近距离思路分析 由抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，再结合图象，运用三角形两边之和大于第三边来求解,方法技巧数形结合思想在抛物线中的应用,【示例】,解 如图所示，设A，M，B点的纵坐标分别为y1，y2，y3，A，M，B三点在抛物线准线上的射影分别为A，M，B.由抛物线的定义，,等号成立的条件是A，F，B三点共线，即AB为焦点弦又|AB|a1，所以AB可以取为焦点弦，即等号可以成立，,方法点评 在抛物线中的最值、定值问题中，很多利用抛物线的定义来解决，一是要将问题首先转化成几何知识，二是注意挖掘题目中隐含条件，还要注重数形结合的应用,单击此处进入 活页规范训练,
