1、2.2.2函数的奇偶性,1.奇函数和偶函数(1)一般地,设y=f(x)的定义域为A,如果对于任意的xA,都有f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数.(2)如果对于任意的xA,都有f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数.交流1既是奇函数又是偶函数的函数存在吗?为什么?提示存在.因为如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,f(-x)=f(x)与f(-x)=-f(x)同时成立,则这样的函数f(x)既是奇函数又是偶函数,表达式是f(x)=0,定义域是关于原点对称的非空数集.,2.奇偶性(1)如果函数f(x)是奇函数或偶函数,我们说函数f(x)具有奇偶性.(2)偶函数的图
2、象关于y轴对称,奇函数的图象关于原点对称.交流2若奇函数f(x)在x=0处有定义,则在x=0处的函数值是什么?若g(x)是偶函数且在x=0处有定义,能确定g(0)的值吗?提示根据奇函数的定义,有f(-0)=-f(0),f(0)=0,即在x=0处的函数值为0.若偶函数g(x)在x=0处有定义,则g(0)的值不确定,如g(x)=x2+a是偶函数,而g(0)=a是任意实数,不能确定是哪一个数.,交流3(1)有下列函数:其中奇函数有,偶函数有.(填序号)(2)已知f(x)=ax3+bx-3中,f(-2)=3,则f(2)=.提示(1)(2)-9,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二
3、,三,解(1)函数的定义域为x|x-1,不关于原点对称,所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数.(2)函数的定义域为R,关于原点对称,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函数.(3)函数的定义域为R,关于原点对称.当a=0时,f(x)既是奇函数又是偶函数;当a0时,f(-x)=a=f(x),即f(x)是偶函数.(4)函数的定义域为R,关于原点对称.当x0时,-x0,此时f(-x)=-x1-(-x)=-x(1+x)=-f(x);当x=0时,-x=0,此时f(-x)=0,f(x)=0,即f(-x)=-f(x).综上,f(-x)=-f(x)在定义域R内都成立,所
4、以f(x)为奇函数.,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,解(1)函数f(x)的定义域是x|x0,关于原点对称,f(x)为奇函数.(2)函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),f(x)为偶函数.(3)函数f(x)的定义域为-1,1,关于原点对称,且f(x)=0,又f(-x)=-f(x),f(-x)=f(x),f(x)既是奇函数又是偶函数.(4)显然函数f(x)的定义域为x|x1,不关于原点对称,f(x)是非奇非偶函数.,典例导学,即时检测,一,二,三,判断函数的奇偶性,首先要检查函数定义域是否关于原点对称,再由定义判
5、断f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)是否成立,也可以判断f(x)f(-x)是否为0,或判断 是否等于1.对分段函数奇偶性的判定与分类讨论思想有关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互关系.,典例导学,即时检测,一,二,三,二、函数奇偶性的应用已知f(x)是定义域在R上的奇函数,当x0时,f(x)=x(1+x).(1)试求当x0时的解析式;(2)写出f(x)在R上的解析式,并画出函数f(x)的图象. (导学号51790054)思路分析解答这类问题时,求哪个区间上的解析式,就在哪个区间上设x,变号后代入已知解析式,借助函数奇偶性求解.,典例导学,即时检测,一,二,三
6、,解(1)设x0,x0时,f(x)=x(1+x),f(-x)=-x(1-x).又f(x)是奇函数,f(x)=-f(-x)=x(1-x).x0,求实数m的取值范围. (导学号51790056)思路分析欲求m的取值范围,应列出关于m的不等式(组),要充分利用已知条件及单调性与奇偶性,将抽象不等关系转化为不等式(组).,典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检测,一,二,三,(2016山东济南一中高一期中)定义在-1,1上的函数y=f(x)是增函数,且是奇函数,若f(a-1)+f(4a-5)0,求实数a的取值范围. (导学号51790057),典例导学,即时检测,一,二,三,典例导学,即时检
7、测,一,二,三,函数的奇偶性同单调性一样,是高考的重点内容之一,主要考查点包括:利用定义判断函数的奇偶性、利用函数的奇偶性(关系、图象)解决某些问题,如利用奇偶性研究函数的取值、定义域、值域、单调性、作函数的图象等,常与单调性综合考查.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,A.奇函数B.偶函数C.既是奇函数又是偶函数D.非奇非偶函数答案:A解析:函数的定义域为x|x0关于原点对称,由函数奇偶性的定义有f(-x)=-f(x),为奇函数.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,2.已知函数y=f(x)是奇函数,若f(3)-f(2)=1,则f(-2)-f(-3)=().A.0B.1C.
8、2D.3答案:B解析:f(x)是奇函数,且f(3)-f(2)=1,f(-2)-f(-3)=-f(2)-f(3)=f(3)-f(2)=1.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,3.(2016山东诸城高一期末)设f(x)是奇函数,对任意的实数x,y,有f(x+y)=f(x)+f(y),当x0时,f(x)0.当x0时,f(x)0,f(x2-x1)0,即f(x2)+f(-x1)0.f(x)是奇函数,有f(x2)-f(x1)0,f(x2)f(x1),f(x)在R上是减函数.f(x)在区间a,b上有最大值f(a),最小值f(b).故选A.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,4.(1)一次
9、函数y=kx+b(k0)是奇函数,则b=;(2)二次函数y=ax2+bx+c(a0)是偶函数,则b=.答案:(1)0(2)0解析:(1)由-kx+b=-(kx+b),得b=0.(2)a(-x)2+b(-x)+c=ax2+bx+c,-bx=bx,故b=0.,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,5.已知偶函数y=f(x)在区间0,4上是单调增函数,则f(-3)与f()的大小关系是.答案:f(-3)f()解析:f(x)为偶函数,f(-3)=f(3).又034,f(x)在0,4上是单调增函数,f(3)f().f(-3)f().,典例导学,即时检测,1,2,3,4,5,6,6.已知函数f(x)=ax2+3a为偶函数,其定义域是a-1,2a,求f(x)的最大值和最小值.解函数f(x)=ax2+3a为偶函数,其定义域是a-1,2a,定义区间关于原点对称.,
