1、1.3 算法案例,第二课时,秦九韶算法,问题提出,1.辗转相除法和更相减损术，是求两个正整数的最大公约数的优秀算法，我们将算法转化为程序后，就可以由计算机来执行运算，实现了古代数学与现代信息技术的完美结合.,2.对于求n次多项式的值，在我国古代数学中有一个优秀算法，即秦九韶算法，我们将对这个算法作些了解和探究.,知识探究(一):秦九韶算法的基本思想,思考1:对于多项式f(x)=x5+x4+x3+x2+x+1，求f(5)的值. 若先计算各项的值，然后再相加，那么一共要做多少次乘法运算和多少次加法运算？,4+3+2+1=10次乘法运算， 5次加法运算.,思考2:在上述问题中，若先计算x2的值，然后
2、依次计算x2x，(x2x)x，(x2x)x)x的值，这样每次都可以利用上一次计算的结果，再将这些数与x和1相加，那么一共做了多少次乘法运算和多少次加法运算？,4次乘法运算，5次加法运算.,思考3:利用后一种算法求多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值，这个多项式应写成哪种形式？,f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0 =(anxn-1+an-1xn-2+a2x+a1)x+a0=(anxn-2+an-1xn-3+a2)x+a1)x+a0 =(anx+an-1)x+an-2)x+a1)x+a0.,思考4:对于f(x)=(anx+an-1)x+ an-2)x+a1)
3、x+a0，由内向外逐层计算一次多项式的值，其算法步骤如何？,第一步，计算v1=anx+an-1.,第二步，计算v2=v1x+an-2.,第三步，计算v3=v2x+an-3. ,第n步，计算vn=vn-1x+a0.,思考5:上述求多项式 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0的值的方法称为秦九韶算法，利用该算法求f(x0)的值，一共需要多少次乘法运算，多少次加法运算？,思考6:在秦九韶算法中，记v0=an，那么第k步的算式是什么？,vk=vk-1x+an-k (k=1，2，n),知识探究(二):秦九韶算法的程序设计,思考1:用秦九韶算法求多项式的值，可以用什么逻辑结构来构造算法？其算
4、法步骤如何设计？,第一步，输入多项式的次数n，最高次 项的系数an和x的值.,第二步，令v=an，i=n-1.,第三步，输入i次项的系数ai.,第四步，v=vx+ai，i=i-1.,第五步，判断i0是否成立.若是，则返回第 二步；否则，输出多项式的值v.,思考2:该算法的程序框图如何表示？,思考3:该程序框图对应的程序如何表述？,INPUT “n=”；n,INPUT “an=”；a,INPUT “x=”；x,v=a,i=n-1,WHILE i=0,INPUT “ai=”；b,v=v*x+b,i=i-1,WEND,PRINT y,END,理论迁移,例1 已知一个5次多项式为 用秦九韶算法求f(5
5、)的值.,f(x)=(5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8.,v1=55+2=27；,v2=275+3.5=138.5；,v3=138.55-2.6=689.9；,v4=689.95+1.7=3451.2；,v5=3451.25-0.8=17255.2.,所以f(5)= =17255.2.,例2 阅读下列程序，说明它解决的实际问题是什么？,INPUT “x=”；an=0y=0WHLE n5 y=y+(n+1)*an n=n+1WENDPRINT yEND,求多项式 在x=a时的值.,小结作业,评价一个算法好坏的一个重要标志是运算的次数，如果一个算法从理论上需要超出计算机允许范围内的运算次数，那么这样的算法就只能是一个理论算法.在多项式求值的各种算法中，秦九韶算法是一个优秀算法.,
