1、第3章,空间向量与立体几何,3.1.5空间向量的数量积,学习目标1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积的概念、性质和计算方法及运算规律.2.掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题.,1,预习导学 挑战自我，点点落实,2,课堂讲义 重点难点，个个击破,3,当堂检测 当堂训练，体验成功,知识链接,空间两个向量的夹角是怎样定义的，范围怎样规定？,预习导引,1.空间向量的夹角,a，b,0，,2.空间向量的数量积(1)定义已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，记作ab.,(2)数量积的运算律,(3)数量积的性质,要点一空间向量
2、的数量积运算例1已知长方体ABCDA1B1C1D1中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点.试计算：,则|a|c|2，|b|4，abbcca0.,规律方法计算两个向量的数量积，可先将各向量用同一顶点上的三条棱对应向量表示，再代入数量积公式进行运算.,跟踪演练1已知空间向量a，b，c满足abc0，|a|3，|b|1，|c|4，则abbcca的值为_.解析abc0，(abc)20，a2b2c22(abbcca)0，,13,要点二利用数量积求夹角例2如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值.,规律方法利
3、用向量的数量积，求异面直线所成的角的方法：根据题设条件在所求的异面直线上取两个向量；将求异面直线所成角的问题转化为求向量夹角问题；利用向量的数量积求角的大小；证两向量垂直可转化为数量积为零.,跟踪演练2如图所示，正四面体ABCD的每条棱长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点，求证：MNAB，MNCD.,要点三利用数量积求距离例3正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为2，E、F分别是AB、A1C1的中点，求EF的长.,由题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.,11415，,规律方法利用向量的数量积求两点间的距离，可以转化为求向量的模的问题，其基本思路是先选择以两点为端点的
4、向量，将此向量表示为几个已知向量的和的形式，求出这几个已知向量的两两之间的夹角以及它们的模，利用公式|a| 求解即可.,跟踪演练3如图所示,平行六面体ABCDA1B1C1D1中，AB1，AD2，AA13，BAD90，BAA1DAA160，求AC1的长.,因为BAD90，BAA1DAA160，,1,2,3,4,1.若a，b均为非零向量，则ab|a|b|是a与b共线的_条件.解析ab|a|b|cosa，b|a|b|cosa，b1a，b0，当a与b反向时，ab|a|b|不能成立.,充分不必要,1,2,3,4,2.已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60，那么|a3b|等于_.,解析|a3b|2(a3
5、b)2a26ab9b2,1,2,3,4,3.对于向量a、b、c和实数，下列命题中的真命题是_.若ab0，则a0或b0；若a0，则0或a0；若a2b2，则ab或ab；若abac，则bc.,1,2,3,4,解析对于，可举反例：当ab时，ab0；对于，a2b2，只能推得|a|b|，而不能推出ab；对于，abac可以移项整理推得a(bc).答案,1,2,3,4,4.如图，已知空间四边形每条边和对角线长都等于a，点E、F、G分别是AB、AD、DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是_.,1,2,3,4,答案,课堂小结,空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角；利用数量积求两异面直线所成的角，关键在于在异面直线上构造向量，找出两向量的关系；证明两向量垂直可转化为证明两个向量的数量积为零，求线段长度转化为求向量的模.,
