1、2.2.2反证法,第二章2.2 直接证明与间接证明,1.了解反证法是间接证明的一种方法.2.理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题.,学习目标,栏目索引,知识梳理 自主学习,题型探究 重点突破,当堂检测 自查自纠,知识梳理 自主学习,知识点一间接证明,答案,间接,不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，像这种不是直接证明的方法通常称为 证明.常见的间接证明的方法是 .,反证法,知识点二反证法,答案,不成立,1.反证法定义假设原命题 ，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 ，从而证明了 ，这种证明方法叫做反证法.2.反证法常见的矛盾类型反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾.这个矛盾可以是
2、与 矛盾,或与 矛盾,或与_ 矛盾等.,假设错误,原命题成立,已知条件,假设,定义、公理、,定理、事实,答案,3.反证法中常用的“结论词”与“反设词”如下：,至多有一个,n,一个也没有,(n1),任意,某个,一定是,且,不都是,且,思考 (1)有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？,答案这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定原命题正确，不是通过逆否命题证题.命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题的否定一定不对.,(2)反证法主要适用于什么情形？,答案要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如
3、果从正面证明，需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的几种情形.,返回,答案,题型探究 重点突破,题型一用反证法证明结论否定的问题,解析答案,反思与感悟,例1如图所示，AB，CD为圆的两条相交弦，且不全为直径，求证：AB，CD不能互相平分.,反思与感悟,证明连接AC，CB，BD，DA，假设AB，CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形，ACBADB，CADCBD.四边形ACBD为圆的内接四边形，ACBADB180，CADCBD180，ACB90，CAD90，对角线AB，CD均为圆的直径，与已知条件矛盾，AB，CD不能互相平分.,反思与感悟,对于结论否定型命题，正面
4、证明需要考虑的情况很多，过程烦琐且容易遗漏，故可以考虑采用反证法.一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”等否定性词语时，宜采用反证法证明.,跟踪训练1已知正整数a，b，c满足a2b2c2.求证a，b，c不可能都是奇数.,解析答案,证明假设a，b，c都是奇数，则a2，b2，c2都是奇数.左边奇数奇数偶数，右边奇数，得偶数奇数，矛盾.假设不成立，a，b，c不可能都是奇数.,题型二用反证法证明唯一性问题,解析答案,例2用反证法证明：过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.,证明假设过点A还有一条直线b与已知直线a平行，即bbA，ba，又ba，由平行公理知bb.这与bbA矛盾，故假设错
5、误，所以过已知直线a外一点A只有一条直线b与已知直线a平行.,反思与感悟,证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思.证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾)或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法比用同一法更方便.,反思与感悟,解析答案,跟踪训练2求证：过一点只有一条直线与已知平面垂直.已知：平面和一点P.求证：过点P与垂直的直线只有一条.,证明如图所示，不论点P在内还是在外，设PA，垂足为A(或P).假设过点P不止有一条直线与垂直，如还有另
6、一条直线PB，设PA，PB确定的平面为，且a，于是在平面内过点P有两条直线PA，PB垂直于a，这与过一点有且只有一条直线与已知直线垂直相矛盾，假设不成立，原命题成立.,题型三用反证法证明结论中含有“至多”“至少”“都”等词语的问题,解析答案,反思与感悟,例3用反证法证明：如果函数f(x)在区间a，b上是增函数，那么方程f(x)0在区间a，b上至多有一个实数根.(不考虑重根),证明假设方程f(x)0在区间a，b上至少有两个实数根，设，为它的两个实数根，则f()f()0.因为，不妨设，又因为函数f(x)在a，b上是增函数，所以f()f()，这与f()f()0矛盾，所以方程f(x)0在区间a，b上至
7、多有一个实数根.,用反证法证明“至少”“至多”型命题，否定结论时，需弄清楚结论的否定是什么，以免出现错误.还应仔细体会“至少有一个”“至多有一个”等表达的意义.,反思与感悟,解析答案,x0且y0，1x2y，且1y2x，两式相加，得2xy2x2y，xy2，这与已知条件xy2相矛盾，,解析答案,因反证法中的反设不当致误,防范措施,返回,易错易混,解析答案,防范措施,防范措施,故假设不成立.,防范措施,在利用反证法证明问题时，往往要假设命题结论的反面成立，而问题结论的反面一定要全面，漏掉任何一种情况，证明都是不正确的.,返回,当堂检测,1,2,3,4,5,1.证明“在ABC中至多有一个直角或钝角”，
8、第一步应假设()A.三角形中至少有一个直角或钝角B.三角形中至少有两个直角或钝角C.三角形中没有直角或钝角D.三角形中三个角都是直角或钝角,B,答案,1,2,3,4,5,2.用反证法证明“三角形中至少有一个内角不小于60”，应先假设这个三角形中()A.有一个内角小于60B.每一个内角都小于60C.有一个内角大于60D.每一个内角都大于60,B,答案,1,2,3,4,5,3.“abC.ab D.ab或ab,D,答案,1,2,3,4,5,4.用反证法证明“在同一平面内,若ac,bc,则ab”时,应假设()A.a不垂直于c B.a，b都不垂直于cC.ab D.a与b相交,D,答案,1,2,3,4,5
9、,解析答案,5.已知a是整数，a2是偶数，求证a也是偶数.,证明(反证法)假设a不是偶数，即a是奇数.设a2n1(nZ)，则a24n24n1.4(n2n)是偶数，4n24n1是奇数，这与已知a2是偶数矛盾.由上述矛盾可知，a一定是偶数.,课堂小结,返回,1.反证法的证题步骤：反设；推理归谬；存真，即假设不成立，原命题成立.2.用反证法证明问题时要注意以下三点：(1)必须先否定结论，即肯定结论的反面，当结论的反面呈现多样性时，必须罗列出各种可能性结论，缺少任何一种可能，反证都是不完全的.(2)反证法必须从否定结论进行推理，即应把结论的反面作为条件，且必须根据这一条件进行推证，否则，仅否定结论，不从结论的反面出发进行推理，就不是反证法.(3) 推导出的矛盾可能多种多样，有的与已知矛盾，有的与假设矛盾，有的与事实矛盾等，推导出的矛盾必须是明显的.,
