1、3.2.1几类不同增长的函数模型（一）,复 习 引 入,讲 授 新 课,例1 假设你有一笔资金用于投资，现在有三种投资方案供你选择，这三种方案的回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天的回报比前一天翻一番.请问，你会选择哪种投资方案？,解：设第x天所得回报是y元，,解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述；,解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(xN*)进行描述；方案二可以用函数y10x (xN*)进行描述；,解：设第x天所得回报是y元，则方案一可以用函数y40(
2、xN*)进行描述；方案二可以用函数y10x (xN*)进行描述；方案三可以用函数y0.42x1(xN*)进行描述.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.,20,40,60,80,100,
3、120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,y0.42x1,函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,y0.42x1,函数图象是分析问题的好帮手.为了便于观察，我们用虚线连接离散的点.,我们看到，底为2的指数函数模型比线性函数模型增长速度要快得多.从中你对“指数爆炸”的含义有什么新的理解？,20,40,60,80,100,120,2,4,6,8,10,O,y,x,y40,y10x,根据以上的分析，是否应作这样的选择: 投资5天以下选方案一，投资58天选方案二，投
4、资8天以上选方案三？,y0.42x1,例2 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售部门的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金总数不超过利润的25%，现有三个奖励模型：y0.25x， ylog7x1， y1.002x， 其中哪个模型能符合公司的要求？,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10,100
5、0上，检验三个模型是否符合公司要求即可.,分析：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1000万元，所以部门销售利润一般不会超过公司总的利润.于是，只需在区间10,1000上，检验三个模型是否符合公司要求即可.,不妨先作出函数图象，通过观察函数的图象，得到初步的结论再通过具体计算，确认结果.,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,O,y,x,图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,O,y,x,y5,图象,8,1,2,3,4,5,6,
6、7,200,400,600,800,1000,y0.25x,O,y,x,y5,图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,y0.25x,ylog7x1,O,y,x,y5,图象,8,1,2,3,4,5,6,7,200,400,600,800,1000,y0.25x,ylog7x1,y1.002x,O,y,x,y5,图象,解： 借助计算机作出函数y0.25x， ylog7x1， y1.002x的图象.观察图象发现，在区间10,1000上，模型y0.25x，y1.002x的图象都有一部分在直线y5的上方，只有模型ylog7x1的图象始终在y5的下方，这说明只有按模
7、型ylog7x1进行奖励时才符合公司的要求，下面通过计算确认上述判断.,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,解：,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,对于模型y0.25x，它在区间10, 1000上递增，而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；,解：,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,对于模型y0.25x，它在区间10, 1000上递增，而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；,对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足1.002x5，由于它在区间10,1000上递增
8、，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；,解：,首选计算哪个模型的奖金总数不超过5万.,对于模型y0.25x，它在区间10, 1000上递增，而且当x20时，y5，因此，当x20时，y5，所以该模型不符合要求；,对于模型y1.002x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805, 806) 内有一个点x0满足1.002x5，由于它在区间10,1000上递增，因此当xx0时，y5，所以该模型也不符合要求；,对于模型ylog7x1，它在区间10,1000 上递增，而且当x1000时，ylog7100014.555，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求.,解：,再计算按模型 ylog7x1
9、奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,解：,令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)0.31670，即log7x10.25x.所以当x10,1000时，,再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,解：,模型ylog7x1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.,. 说明按,令f(x)log7x10.25，x10,1000.利用计算机作出函数f(x)的图象，由图象可知它是递减的，因此f(x)f(10)0.31670
10、，即log7x10.25x.所以当x10,1000时，,再计算按模型 ylog7x1奖励时，奖金是否不超过利润的25%，即当x10,1000时，是否有,成立.,综上所述，模型ylog7x1确实能符合公司要求.,解：,模型ylog7x1奖励时, 奖金不会超过利润的25%.,. 说明按,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.(3) 数学建模：把握
11、新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常
12、用的数学模型有方程、不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(1) 理解问题：阅读理解，读懂文字叙述，认真审题，理解实际背景.弄清楚问题的实际背景和意义，设法用数学语言来描述问题.(2) 简化假设：理解所给的实际问题之后，领悟背景中反映的实质，需要对问题作必要的简化，有时要给出一些恰当的假设，精选问题中关键或主要的变量.(3) 数学建模：把握新信息，勇于探索，善于联想，灵活化归，根据题意建立变量或参数间的数学关系，实现实际问题数学化，引进数学符号，构建数学模型，常用的数学模型有方程、不等式、函数.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型
13、进行求解.(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作
14、出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,(4) 求解模型：以所学的数学性质为工具对建立的数学模型进行求解.(5) 检验模型：将所求的结果代回模型之中检验，对模拟的结果与实际情形比较，以确定模型的有效性，如果不满意，要考虑重新建模.(6) 评价与应用：如果模型与实际情形比较吻合，要对计算的结果作出解释并给出其实际意义，后对所建立的模型给出运用范围.如果模型与实际问题有较大出入，则要对模型改进并重复上述步骤.,归纳总结中学数学建模的主要步骤,练习 某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产
15、量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双. 由于产品质量好，款式新颖，前几个月的销售情况良好.为了推销员在推销产品时，接受定单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量. 厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程. 厂里也暂时不准备增加设备和工人. 假如你是厂长，就月份x，产量为y给出四种函数模型：,+b，y=abx +c，,y=ax+b，y=ax2+bx+c，y=a,你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？,课 堂 小 结,理解问题(2) 简化假设(3) 数学建模(4) 求解模型(5) 检验模型(6) 评价与应用,归纳总结中学数学建模的主要步骤,课 后 作 业,2. 习案作业三十一.,1. 阅读教材P.95 P.98.,
