1、2.1.2演绎推理,1.理解演绎推理的意义.2.掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理.3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.,1.演绎推理,【做一做1】 下列说法正确的是()A.类比推理是由特殊到一般的推理B.演绎推理是由特殊到一般的推理C.归纳推理是由个别到一般的推理D.合情推理可以作为证明的步骤,解析:类比推理是由特殊到特殊的推理,故选项A错误;演绎推理是由一般到特殊的推理,故选项B错误;归纳推理是由个别到一般或部分到整体的推理,故选项C正确;合情推理的结论不可靠,不能作为证明的步骤.答案:C,2.三段论,名师点拨三段论推理的依据.用集合的观点来讲,若集合M中的所有
2、元素都具有性质P,S是M的子集,那么S中的所有元素也都具有性质P.三段论推理的论断基础是这样一个公理:“凡肯定(或否定)了某一类对象的全部,也就肯定(或否定)了这一类对象的各部分或个体”.简言之,“全体概括个体”.M,P,S这三个概念之间的包含关系表现为:若概念P包含了概念M,则必包含了M中的任一概念S(如图);若概念P排斥概念M,则必排斥M中的任一概念S(如图).,弄清以上道理,才会使我们在今后的演绎推理中不犯(或少犯)错误.在演绎推理中,只要前提和推理形式是正确的,那么其结论必定也是正确的.如果大前提是错误的,那么所得的结论也就是错误的.,解析:大前提是错误的,因为当0a1时,对数函数y=
3、logax在定义域内是减函数.故选A.答案:A,【做一做2-2】 函数y=2x+5的图象是一条直线,用“三段论”表示为:大前提:;小前提:;结论:.,答案:一次函数的图象是一条直线函数y=2x+5是一次函数函数y=2x+5的图象是一条直线,1.怎样认识演绎推理?剖析:(1)演绎推理的前提是一般性原理,演绎推理所得的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,即结论完全蕴涵于前提之中.(2)在演绎推理中,前提与结论之间存在必然的联系,只要前提是真实的,推理的形式是正确的,那么其结论也必定是正确的.因而演绎推理是数学中严格证明的工具.(3)演绎推理是一种收敛性的思维方式,具有条理清晰、令人信服的论证作用
4、,有助于数学的理论化和系统化.,2.合情推理与演绎推理有怎样的区别与联系?剖析:,名师点拨就数学而言,演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程,但数学结论、证明思路等的发现,主要依靠合情推理,因此我们不仅要学会证明,也要学会猜想.,题型一,题型二,题型三,题型四,把演绎推理写成三段论【例1】 把下列推断写成三段论的形式:(1)因为ABC三条边的长依次为3,4,5,所以ABC是直角三角形;(2)y=sin x(xR)是周期函数.,解:(1)因为一条边长的平方等于其他两条边长平方和的三角形是直角三角形, 大前提ABC三条边的长依次为3,4,5,且32+42=52,小前提所以ABC是直角三
5、角形.结论(2)因为三角函数是周期函数,大前提y=sin x(xR)是三角函数,小前提所以y=sin x(xR)是周期函数.结论,分析:明确大前提、小前提和结论是解题的关键,并且还需要准确利用三段论的形式.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思三段论由大前提、小前提和结论组成,大前提提供一般原理,小前提提供特殊情况,两者结合起来,体现了一般原理与特殊情况的内在联系.在用三段论写推理过程时,关键是明确命题的大前提、小前提,而大前提、小前提在书写过程中是可以省略的.,【变式训练1】 将下列演绎推理写成三段论的形式:(1)若A,B是等腰三角形的两底角,则A=B;(2)通项公式an=2n+3表示的数列
6、an为等差数列;(3)因为2100+1是奇数,所以2100+1不能被2整除.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,三段论在证明几何问题中的应用,【例2】 如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为a,D,E分别为C1C与AB的中点,A1B交AB1于点G.(1)求证:A1BAD;(2)求证:CE平面AB1D.,分析:(1)线线垂直线面垂直线线垂直(2)线线平行线面平行,题型一,题型二,题型三,题型四,证明:(1)如图,连接A1D,DG,BD.三棱柱ABC-A1B1C1是棱长均为a的正三棱柱,四边形A1ABB1为正方形,A1BAB1.D是C1C的中点,A1C1DBCD
7、.A1D=BD.点G为A1B与AB1的交点,点G为A1B的中点.A1BDG.又DGAB1=G,A1B平面AB1D.又AD平面AB1D,A1BAD.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,反思在几何证明题中,每一步实际上都暗含着一般性原理,都可以分析出大前提和小前提.把一般性原理用于特殊情况,就可得到结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,【变式训练2】,如图,在三棱锥S-ABC中,平面SAB平面SBC,ABBC,AS=AB.过点A作AFSB,垂足为F,点E,G分别是棱SA,SC的中点.求证:(1)平面EFG平面ABC;(2)BCSA.,题型一,题型二,题型三,证明:(
8、1)因为AS=AB,AFSB,垂足为F,所以F是SB的中点.又E是SA的中点,所以EFAB.因为EF平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.同理EG平面ABC.又EFEG=E,所以平面EFG平面ABC.,题型一,题型二,题型三,题型四,(2)因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,又AF平面SAB,AFSB,所以AF平面SBC.因为BC平面SBC,所以AFBC.又ABBC,AFAB=A,AF平面SAB,AB平面SAB,所以BC平面SAB.因为SA平面SAB,所以BCSA.,题型一,题型二,题型三,题型四,演绎推理在代数问题中的应用,分析:,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二
9、,题型三,题型四,反思应用三段论求解问题时,要充分挖掘题目中的外在和内在条件(小前提),根据需要引入相关的适用的定理和性质(大前提),并保证每一步的推理都是正确的、严密的,才能得出正确的结论.,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,题型一,题型二,题型三,题型四,易错辨析易错点:利用演绎推理证明数学命题时,因大前提错误而致错【例4】,如图,已知S为ABC所在平面外一点,SA平面ABC,平面SAB平面SBC.求证:ABBC.,题型一,题型二,题型三,题型四,错解:证明:因为平面SAB平面SBC,且BC平面SBC,所以BC平面SAB,故ABBC.,错因分析:错解中的证明在
10、于使用的大前提“如果两个平面互相垂直,那么一个平面内的直线垂直于另一个平面”是错误的,使用的大前提应该是“如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面”.,题型一,题型二,题型三,题型四,正解:证明:过A点作直线AESB于点E.因为平面SAB平面SBC,且交线为SB,所以AE平面SBC.所以AEBC.又SA平面ABC,所以SABC.所以BC平面SAB.故BCAB.,题型一,题型二,题型三,题型四,反思利用演绎推理进行解题时,必须注意大前提的正确性,而大前提一般为我们学习过的概念、公式、法则、公理、定理和推论等.因此,在平时学习中要正确地理解和掌握这些基本知识,明确这些基本知识的使用条件.,
