1、3.2 复数代数形式的四则运算 3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义,运算是“数”的最主要的功能，复数不同于实数，它是由实部、虚部两部分复合构造而成的整体，它如何进行运算呢？我们就来看一下最简单的复数运算复数的加、减法,引入 随着生产发展的需要，我们将数的范围扩展到了复数,实部,虚部,1.复数代数形式的加、减运算法则.（重点）2.复数代数形式的加、减运算律.（难点）3.复数代数形式的加、减运算的几何意义.,我们知道实数有加、减、乘等运算，且有运算律： a+b=b+a ab=ba (a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc) a(b+c)=ab+ac 那么复数应怎样进行加、
2、减、乘运算呢？你认为应怎样定义复数的加、减、乘运算呢？运算律仍成立吗？,探究点1 复数的加法,1. 复数代数形式的加法,我们规定，复数的加法法则如下：设z1=a+bi, z2=c+di是任意两个复数，那么 (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.说明:（1）复数的加法运算法则是一种规定.当b=0，d=0时与实数加法法则保持一致;（2）很明显，两个复数的和仍然是一个复数,对于复数的加法可以推广到多个复数相加的情形.,2. 设z1=a1+b1i, z2=a2+b2i, z3=a3+b3i.,（1）因为 z1+z2=(a1+b1i)+(a2+b2i) =(a1+a2)+(b1+b2)i
3、, z2+z1= (a2+b2i) + (a1+b1i) =(a1+a2)+(b1+b2)i, 所以 z1+z2=z2+z1,探究点2 复数的加法满足交换律、结合律,（2）因为 (z1+z2)+z3=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, z1+ (z2+z3)=(a1+b1i)+(a2+b2i)+(a3+b3i) =(a1+a2 +a3)+(b1+b2+b3)i, 所以 (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3),所以，对任意z1，z2，z3 C,有 z1+z2=z2+z1（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）,探究点3
4、复数与复平面内的向量有一一对应关系 我们讨论过向量加法的几何意义，你能由此出发讨论复数加法的几何意义吗？,设 , 分别与复数a+bi,c+di对应,=(a+c)+(b+d)i,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),Z(a+c,b+d),符合向量加法的平行四边形法则.,3.复数加法运算的几何意义,探究点4 复数的减法,类比实数集中减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足,(c+di)+(x+yi)=a+bi,的复数x+yi叫做复数a+bi减去复数c+di的差，记作(a+bi)-(c+di).根据复数相等的定义，有,c+x=a, d+y=b,因此 x=a-c, y=b-d,所
5、以 x+yi=(a-c)+(b-d)i ,即 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i.,4. 复数的减法 (a+bi)-(c+di) =(a-c)+(b-d)i说明：两个复数的差是一个确定的复数 .,x,o,y,Z1(a,b),Z2(c,d),符合向量减法的三角形法则.,探究点5.复数减法运算的几何意义,|z1-z2|表示什么?,表示复平面上两点Z1 ,Z2的距离,例1 计算(5-6i)+(-2-i)-(3+4i).,解： (5-6i)+(-2-i)-(3+4i) =（5-2-3）+（-6-1-4）i =-11i,例2 计算(13i )+(2+5i) +(-4+9i).,解：
6、原式=（1+2-4）+（-3+5+9）i=-1+11i,例3,A.一条直线 B.两条直线C.圆 D.其他,C,3.|z1|= |z2|平行四边形OABC是 .,4.| z1+ z2|= | z1- z2|平行四边形OABC是 .,5. |z1|= |z2|，| z1+ z2|= | z1- z2|平行四边形OABC是 .,菱形,矩形,正方形,(1)|z(1+2i)|,(2)|z+(5+3i)|,6. 已知复数z对应点A,说明下列各式所表示的几何意义.,点A到点(1,2)的距离,点A到点(5, 3)的距离,(3)|z1|,(4)|z+2i|,点A到点(1,0)的距离,点A到点(0, 2)的距离,
7、7.计算,（1）（5+4i）+（-3-2i）（2）（2-i）-（2+3i）+4i（3） 5-（3+2i）（4） 4i-（4i-4）,答案：(1)2 + 2i (2)0 (3)2 - 2i (4)4,8.已知复数m=23i,若复数z满足等式|zm|=1,则z所对应的点的集合是什么图形?,解： 以点(2, 3)为圆心,1为半径的圆.,1.复数的加、减运算法则表明，若干个复数的代数和仍是一个复数，复数的和差运算可转化为复数的实部、虚部的和差运算.2.在几何背景下求点或向量对应的复数，即求点或向量的坐标，有关复数模的问题，根据其几何意义，有时可转化为距离问题处理.3. 在实际应用中，既可以将复数的运算转化为向量运算，也可以将向量的运算转化为复数运算，二者对立统一.,
