1、Contourlet 变换：一种高效多分辨率图像表示摘要通用的一维有限元可分扩展变换，例如傅里叶和小波变换，在几何图像的描述上是众所周知的。在这里，我们追求的是一个“真正的”二维变换，它可以描述内在的几何结构，而这正是视觉信息的关键。研究几何图像的主要挑战来自离散数据。因此，不同于其他方法，如 curvelets。第一次在一个连续域进行变换然后将采样数据离散化，我们的做法始于构造一个离散域，然后研究其在一个扩大的连续域上的收敛性。具体来说，我们构造一个离散域内的多分辨率和多方向扩大使用的非分离滤波器，在大致相同的方式下小波来自滤波器。这个结构源于一个灵活的多分辨率的、且按方向扩展的局部轮廓，因
2、此它被命名为 contourlet 变换。离散contourlet 变换具有一个快速迭代滤波器算法它需要一列 N个操作数的 N 位像素图像。此外，我们通过一个定向多分辨率分析框架在已有的滤波器与相关的连续域轮廓扩张之间建立了精确的联系。我们表明，伴随着抛物线缩放和足够的方向消失矩，contourlets 实现了精确分段光滑曲线沿两次连续的不同曲线的最佳逼近率。最后我们展示了一些数值实验表明了 contourlets 在几个图像处理应用中的潜力。关键字条款稀疏矩阵表示，小波，contourlets，滤波器，多分辨率，多相位，轮廓，几何图像处理。一、介绍视觉信息的有效表示是许多图像处理的核心任务，
3、包括压缩、消噪、特征提取和 逆问题。有效表示是指用一个小的描述能够将关于一个事物的显著信息描述出来。对于图像压缩或基于内容的图像检索来说，一个有效的表示意味着对压缩文件或在数据库中的每个图像的索引项的简化。为了实际应用，这种有效表示必须由结构转换和快速算法获得。对于一维分段光滑信号，如图像的扫描线，小波已经被确立为正确的工具，因为它们为这些信号提供了在一定意义上的最优表示【1】 ， 【2】 。此外，小波表示是一个高效算法，特别是它会导致快速转换和方便的树形数据结构。这些都是对小波在许多信号处理和通信应用成功的关键原因，例如，小波变换作为新的图像压缩标准的变换，JPEG - 2000 【3】而被
4、广泛采用。然而，自然的图像不是一维分段光滑扫描线的简单堆叠，由于物理对象的边界线是光滑的不连续点（即边）通常位于沿光滑曲线的端点（即等高线） 。因此，自然图像包含的内在几何结构是视觉信息的主要特点。作为一个从一维推广而来的结果，在二维小波善于孤立边缘点的不连续性，但不会“看到”光滑的轮廓。此外，可分离小波只能捕捉有限的方向信息一个重要而又独特的多维信号特征。这些令人失望的行为表明，在高维需要更强大的表示。要了解如何改善二维可分离小波变换用光滑轮廓代表图像需要考虑以下情况。想象一下，有两个画家，一个“小波”的风格而另一个有一新风格，都希望画一个自然风光。两个画家应用改良技术，增加决议，由粗到细。
5、在这里，效率是衡量如何快速，是如何用少的笔触，真实地再现一个现场。请考虑轮廓正在画的情况，如图 1 所示。由于二维小波是由一维小波的“ 小波” 的张量构成， “小波” 的风格画家仅限于使用方形笔触，用相应的小波多尺度结构的不同尺寸沿轮廓勾勒。正如决议的细化，我们可以清楚地看到小波风格画家需要使用许多细“点” ，以捕捉轮廓的限制。新风格的画家，另一方面，利用有效的平滑轮廓通过使不同形状的笔触并在不同的方向沿着轮廓拉长。这种直觉被康代斯和多诺霍正式用在曲波建设【4 】 ， 【5】中。图 1对于人类视觉系统，它是众所周知的【6】 ，在视觉皮层的感受区的特点是局部，导向，带通。此外，在对自然图像的稀疏
6、成分搜索实验的基础上产生的图像酷似视觉皮层的上述特性【7 】 。这一结果支持人类视觉系统已调整以使捕捉一个自然场景的重要资料时使用视觉活性细胞数量最少这一假设。更重要的是，这一结果表明，对于一个计算图像的有效代表，它应该基于一个局部，方向，和多分辨率的扩展。由绘画场景以及与人类视觉系统和自然图像的统计研究的启发，我们确定了“愿望清单”用于新的图像表示：1） 多分辨率。表示应允许图像陆续近似由粗到细的决议。2） 本地化。基本要素在表示时都应该定 位在空间和频率域。3） 关键取样。 对于某些应用程序， （例 如，压缩） ，该表示应形成一个基础，或一个小型冗余框架。4） 方向性。该表示应包含在一个方
7、向面向多种元素的基础上，提供比可分离小波更多的方向。5） 各向异性。为了捕捉图像平滑的轮廓，该表示应在 包含基础元素的基础上使用不同长宽比拉长多种形状。在这些必要条件中，可分离小波成功的提供了前三个，而最后两个需要新的建设。此外，捕捉图像的几何特性和方向性的主要挑战来自数据的离散性：输入通常是矩形网格采样定义图像。例如，方向以外的横向和纵向上看起来是不同的矩形网格。由于 pixelization 对样本图像的平滑轮廓的概念并不明显。基于这些原因，不像最初在连续域发展，然后对采样数据离散化的那些变换，我们的做法始于一个离散域的建设，然后研究它在一个不断扩大的连续域上的收敛性。该文件的其余部分要点
8、如下。审查的有关工作在第二节，我们建议在第三节，一个多分辨率和多方向的图像扩大应使用非分离滤波器。这个建设导致 一个灵活的多分辨率，局部和定向使用轮廓图像扩展部分，因此它被命名为轮廓变换。研究这些限制行为的好处是这些计划被迭代超过与/或方向时，在滤波器组、它们的迭代和相关的小波的构造【8】 ，【2】已被分析过。 这种联系，在第四节学习过，我们在一个新定义的方向多分辨分析框架下，提出在滤波器和相关的连续域轮廓扩张之间建立精确的联系。轮廓扩张的近似能力在第五节学习过。我们表明，用抛物线缩放和足够的方向消失矩，Contourlets 实现了二维分段光滑函数与 （两次连2C续可微）轮廓最佳逼近率。 。
9、二、背景及相关工作考虑一个由一般级数 给定信号1nf(1)1nfC另外，最佳的 -项逼近误差衰减提供了一个扩展的有效测M量。最佳 -项逼近（通常也被称为非线性逼近【 1】 ）使用这种扩张被定义为(2)MnIfC是 -largest |的集合，估计函数 的质量涉及到如MInMf何通过 稀疏扩张，或者 如何更好的将扩展压缩为1n的系数。最近，康代斯和多诺霍【4】 【5 】首创一个新f的扩展，在连续两维空间 使用 curvelets。这一扩展为 2-2RD 分段光滑函数实现重要的最佳逼近行为的是 而不是不2C连续的沿着 的曲线。对于这一类的功能，最好的 -项2CM逼近误差（在 范数平方） 用 cur
10、velets 得到衰变率2L2f【5 】 ，而小波变换得到的是 ，傅里3logM 1o叶基本变换得到的是 【1】 ， 【2 】 。因此，对于具有/2o光滑轮廓的典型图像，我们期望轮廓变换方法能有一个重大的改进从而超越小波变换，它是足以媲美改进后的小波甚至超越基于傅里叶变换的一维分段光滑信号。也许同样重要的是，曲波建设表明，可以通过一个固定变换为具有平滑轮廓的图像开发一个最佳的代表。曲波变换最初通过多尺度滤波应用在连续域【4】 ，然后在每个带通图象上应用 1 块脊波变换【9 】 。后来，作者提出的第二代 Curvelet 变换【 5】 ，它直接被定义为通过频率划分规定的情况下不使用用脊波变换。这
11、两个曲波建设需要一个旋转操作和对应一个 2 - D 频率划分基础上的极坐标。这使得曲波建设在连续域上变得简单，但却致使一个矩形网格离散图像采样的实现成为一个挑战。特别是，在这种离散化建设中似乎很难接近临界采样。对于这一困难的原因，我们相信，是因为典型的矩形网格取样规定事先的离散几何图像;例如：对水平和垂直方向强烈的偏见。这一事实不但促使我们发展定向的多分辨率变换，像 Curvelets，而且是直接在离散域上，它在轮廓建设上的成果本文有所描述。我们想强调的是，虽然曲波和轮廓波变换有一些相似的性质和目标，但后者不是前者一个离散的版本。除了 Curvelets 和 Contourlets，最近还有几
12、种方法用于开发几何规律的有效代表。显著的例子是 bandelets 【10】 ，边适应多尺度变换【11】 ， wedgelets 【12】 【13】 ，和四叉树编码【14】 。这些方法通常需要一个边缘检测阶段，遵从一个自适应的代表性。相比之下，曲波和轮廓变换都是固定变换。此功能允许它们很容易被应用在图像处理任务中，类似于小波的广泛应用。例如，我们不必依靠边缘检测，这是不可靠和噪音明显的。此外，我们还可以受益于既定的知识当我们应用 Contourlets 的变换编码和图像压缩（如位分配）时。其他几个知名的系统，提供多尺度、定向的图象表示包括：二维 Gabor 小波【15】 ，大脑皮层的转换【16
13、】 ，可操纵金字塔【17】 ， 2 D 定向小波【18 】 ，brushlets 【19 】和复杂小波【20】 。这些系统和我们的轮廓建设的主要区别是，以前的方法不允许当实现临界采样时出现在每一个尺度上有不同的数字方向的情况。此外，我们的建设采用迭代滤波器，这使得计算效率很高，且在连续域扩张上有精确连接。三。离散域建设用滤波器组A概念在比较图 1 所示的新的小波计划，我们看到，新计划的改善可以归功于附近的小波系数分组，因为它们是局部相关由于光滑轮廓的。首先采用多尺度变换的自然的图像，在同等规模的基础上，集合附近的函数之后，由局部定向转化为线性结构。从本质上讲，我们首先使用一个边缘检测的小波变换，然后是一个局部定向变换对轮廓部分的检测。有趣的是，后一步骤类似于在计算机视觉线路检测上流行的Hough 变换 【21】 。
