1、3.4 基本不等式,如图，这是在北京召开的第24届国际数学大会的会标，会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客。,问题引入,问2：tAGB,RtBFC,RtCED,RtAHD是全等三角形，它们的面积和是S=,问3：S与S有什么样的关系？,从图形中易得，S S,即,问1：在正方形ABCD中,设AE=a,BE=b,则正方形的面积为S=，,问题探索,a,b,思考,探索新知,问：观察以上图形，我们能够得到什么结论呢？,发现：当 时，等号成立。,1、重要不等式：一般地， ，当且仅当 时，等号成立。,从而，我们得到：,2、基本不等式：若 ，那么就有即 ，
2、等且仅当 时，等号成立。,证明： 要证只要证要证上式，只要证要证上式，只要证,分析法,说明：（1）适用范围：a0,b0;（2）阐释：两数的算术平均数大于等于两数几何平均数;（3）当且仅当 a=b 时，等号成立。,归纳总结,2.基本不等式：若 ，那么就有即 ，等且仅当 时，等号成立。,1、重要不等式：一般地， ，当且仅当 时，等号成立。,例1：（1）用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短。最短的篱笆是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则xy=100，篱笆的长为2（x+y）m.,等号当且仅当x=y时成立，此时x=y=10.,因此，这个矩形
3、的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.,强调：两个正变量积为定值，则和有最小值，当且仅当两值相等时取最值。,分析：（1）面积确定，长与宽取何值，篱笆最短：,（2）用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？,解：设矩形菜园的长为x m，宽为y m，,则 2（ x + y ）= 36 , x + y = 18,矩形菜园的面积为xy m2,=18/2=9,得 xy 81,当且仅当x=y,即x=y=9时，等号成立,因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园面积最大，最大面积是81m2,强调：两个正变量和为定值，则积有最大值
4、，当且仅当两值相等时取最值。,分析：（2）周长确定，长与宽取何值，菜园面积最大：,应用基本不等式求最值的条件：,a与b为正实数,若等号成立，a与b必须能够相等,一正,二定,三相等,积定和最小和定积最大,强调：求最值时要考虑不等式是否能取到“”,范例讲解,例2 已知x、y都是正数，求证：,巩固练习：,2.若x0,当x= 时,函数 有最 值 .,1.若x0,当x= 时,函数 的最小值是 .,小,12,练习4：,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,分析一：,原函数式可化为：,y=-3x2+x，,分析二：,均值不等式的变形,练习5：,用均值不等式求最值，必须满足“定值”这个条件,1. 两个不等式（1）（2） 当且仅当a=b时，等号成立注意：1.两公式条件，前者要求a,b为实数；后者要求a,b为正数。 2.公式的正向、逆向使用的条件以及“=”的成立条件。2.不等式的简单应用：主要在于求最值 把握 “七字方针” 即 “一正，二定，三相等”,课堂小结,
