1、1.3.2,函数的最值,【学习目标】,1理解函数的最大(小)值及其几何意义,2学会运用函数图象理解和研究函数的性质,1函数的最大值,f(x0)M,一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有_；存在 x0 I，使得_那么称 M 是函数 yf(x)的最大值,练习 1：函数 f(x)3x 在0,3上的最大值是_,9,f(x)M,2函数的最小值,f(x0)M,一般地，设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足：对于任意的 xI，都有_；存在 x0 I，使得_那么称 M 是函数 yf(x)的最小值,3,f(x)M,【问题探究】完成下表：,无,无
2、,5,1 无,0,9,0,对于一个函数来说，不一定有最值，若有最值，则最值一定是值域中的一个元素,上表体现了函数值的什么特征？,答案：表格从上到下，从左到右依次填：,题型 1,利用图象求最值,【例 1】 求下列函数的最大值和最小值：,(2)y|x1|x2|.,图 D11,解：(1)二次函数 y32xx2 的对称轴为 x1.画出函数的图象，由图 D11，可知：,作出函数的图象，由图 D12，可知：y3,3所以函数的最大值为 3, 最小值为3.图 D12,当函数中含有绝对值时，可以采用分类讨论的方法去绝对值，将函数化为分段函数利用图象研究其单调性及最值，关键要正确作出函数的图象,【变式与拓展】,1
3、图 1-3-2为函数 yf(x)，x4,7的图象，指出它的最,大值、最小值及单调区间,图 1-3-2,解：当x3 时，函数yf(x)取最大值为3；当 x1.5 时，,函数 yf(x)取最小值为2.,函数的单调递增区间为1.5,3)，5,6)；单调递减区间为4，1.5)，3,5)，6,7,题型 2,利用单调性求函数的最值问题,思维突破：先判断函数的单调性，再求其最值,f(x1)f(x2)0.f(x)在1,2上是减函数,运用函数的单调性求最值是求函数最值的重要方法，特别是当函数的图象不易作出时，用函数的单调性求最值几乎成为首选方法,【变式与拓展】,2函数 y,4x2,在区间 3,6上是单调递_函数
4、，最,小值是_,减,1,3求函数 f(x),xx1,在区间2,5上的最大值与最小值,解：任取 2x10.,f(x2)f(x1)0，即 f(x2)0 恒成立，试求实数 a的取值范围,(2)方法一：f(x)0 对 x1，)恒成立x22xa0,对 x1，)恒成立,设 yx22xa，x1，)，则 y(x1)2a1 在,1，)上是增函数，从而 ymin3a.,于是当且仅当 ymin3a0，即 a3 时，f(x)0 对 x1，)恒成立，故实数 a 的取值范围是(3，)方法二：f(x)0 对x1，)恒成立x22xa0 对x1,恒成立ax22x 对 x1 恒成立,令x22x(x1)21，其在1，)上是减函数，
5、当 x1 时，max3.因此 a3.故实数 a 的取值范围是(3，),【变式与拓展】,4A，B 两城相距 100 km，在两地之间距 A 城 x km 处的D 地建一核电站给 A，B 两城供电为保证城市安全，核电站距城市距离不得少于 10 km.已知每个城市的供电费用和供电距离的平方与供电量之积成正比，比例系数0.25，若 A 城供电量为 20 亿度/月，B 城为 10 亿度/月,(1)把月供电总费用 y 表示成 x 的函数，并求其定义域；(2)核电站建在距 A 城多远，才能使供电费用最小,解：(1)由题意知，核电站距离 B 城的距离为(100x) km，则又 x10，且 100x10，则有
6、10x90.故 y 与 x 的函数关系式为,【例 4】 已知函数 f(x)x22ax2，x5，5.,(1)当 a1 时，求 f(x)的最大值和最小值；,(2)求使函数 yf(x)在区间5，5上是单调函数的 a 的取,值范围,解：(1)当 a1 时，f(x)x2 2x2(x1)2 1，x,5，5 ，,所以 f(x)minf(1)1，f(x)maxf(5)37.,(2)函数 yf(x)的对称轴为 xa，函数在区间5，5上,是单调函数，,即a5 或a5，解得 a5 或 a5.,方法规律小结,1函数的最值与其值域、单调性之间的关系(1)函数的最值与其值域的关系,对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一
7、定有最值，有的函数只有最大值而无最小值，如 yx2；有的函数只有最小值而无最大值，如 yx2；有的函数既无最大值也无最小值，,(2)函数的最值与其单调性的关系,若函数在闭区间a，b上是减函数，则 f(x)在a，b上的最,大值为 f(a)，最小值为 f(b)；,若函数在闭区间a，b上是增函数，则 f(x)在a，b上的最,大值为 f(b)，最小值为 f(a),2二次函数在闭区间上的最值,探求二次函数在给定区间上的最值问题，一般要先作出 yf(x)的草图，然后根据图象的增减性进行研究特别要注意二次函数的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据，并且最大(小)值不一定在顶点处取得,3分段函数的最大值与最小值,函数的最大值与最小值是函数“整体”的性质而对于分段函数的最大值或最小值，其最大值是各段上最大值中的最大者，其最小值是各段上最小值中的最小者,
