1、1高三第一轮复习构造法与放缩法证明不等式1.构造法证明不等式在学习过程中，常遇到一些不等式的证明，看似简单，但却无从下手，多种常用证法一一尝试，均难以凑效。这时不妨变换一下思维角度，从不等式的结构和特点出发，构造一个与不等式相关的数学模型，实现问题的转化，从而使不等式得到证明。一、构造向量证明不等式例 1：证明 ，并指出等号成立的条件。9)(27x证明：不等式左边可看成 与 x 和 与 两两乘积的和，从而联想到数量积的坐标表示，722x将左边看成向量 a=( , )与 b=( x, )的数量积，9又 ，所以 |ba 9)()2(7( 22 x当且仅当 时等号成立，故由)0(,x解得：x= ,=
2、1，即 x = 时，等号成立。 77例 2：求证： 61)2()3()122 yy（证明：不等式左边的特点，使我们容易联想到空间向量模的坐标表示，将左边看成 模的平方，),(xa又 ，为使 为常数，根据待定系数法又可构造 。|ba )1,2(b于是|a|b|= 6)2()3()1( 22 yyab 1 ）（ xxy所以 )()()( 222 即 631yxyx（二、构造复数证明不等式例 3、求证： 2)1()()1()( 22222 yxyx证明：从不等式左边的结构特点容易联想到复数的模，将左边看成复数 Z1=x+y i , Z2 = x +（1 y）i ，Z 3 = 1 x + y i ，Z
3、 4 = 1 x +（1 y）i 模的和，又注意到 Z1Z 2Z 3Z 422 i ，于是由 可得：1z23z44321zz)()()()(22 yxyxyxyx2图（1）注：此题也可构造向量来证明。三、构造几何图形证明不等式例 4：已知：a0、b0、c0 ,求证： ，当且仅当2222 cacbab时取等号。cab1证明：从三个根式的结构特点容易联想到余弦定理，于是可构造如下图形，使 OAa，OBb，OCc ， AOB= BOC=60 如图（ 1） ，则AOC120，AB= ，BC= ,AC= 22ba22cb22ca由几何知识可知：ABBCAC， +22cb2ca当且仅当 A、B、C 三点共
4、线时等号成立，此时有，即 ab+bc=ac10sin260sin2160sin21ab故当且仅当 时取等号。ca四、构造椭圆证明不等式例 5：求证： 3129432x证明： 的结构特点，使我们联想到椭圆方程及数形结合思想。2x于是令 ，则其图象是椭圆)0(2yxy的上半部分，1492yx设 y-2x=m，于是只需证 , 3124m因 m 为直线 y=2xm 在 y 轴上的截距，由图（ 2）可知：当直线 y = 2 xm 过点（ ，0）时，m 有最小值为 m=；34当直线 y =2x m 与椭圆上半部分相切时，m 有最大值。由 得：13x 2 + 4mx + m2 4 = 0492令= 4（52
5、9m 2）=0 得： 或31（舍去）31 图（2）3即 m 的最大值为 ，故 ，即312312m4 312942x五、构造方程证明不等式例 6：设 a1、a 2、a n 为任意正数，证明对任意正整数 n 不等式(a 1 + a2 + + an)2 n ( a12 + a22 + + an2 )均成立证明：原不等式即为 4 (a1 + a2 + + an)24n ( a 12 + a22 + + an2 ) 0由此联想到根的判别式而构造一元二次方程：( a12 + a22 + + an2 ) x 2 + 2 (a1 + a2 + + an ) x + n=0 （）因方程左边 (a1 x + 1)
6、2 + (a2 x + 1)2 + (an x + 1)2 0当 a1、a 2、a n 不全相等时， a1 x+1、a 2 x+1、a n x+1 至少有一个不为 0，方程（）左边恒为正数，方程（）显然无解。当 a1a 2a n 时，方程（）有唯一解 x 1a故4 ( a 1 + a2 + + an )2 4n ( a12 + a22 + + an2 ) 0即(a 1 + a2 + +an )2 n ( a12 + a22 + + an2 ) 对任意正整数 n 均成立六、构造数列证明不等式例 7：求证：C n1+Cn2+Cnn 2-证明：不等式左边为 2n 1= 从而联想到等比数列的求和公式，
7、1于是左边=1+2+2 2+ 2 n1 = (1+2n-1) + (2+2n-2) + (2n-1+1) n =211n2-n例 8：设任意实数 a、 b 均满足| a | 0 将 a 看作自变量，于是问题转化为只须证：当1a1 时， （bc）abc 1 恒为正数。因而可构造函数 f ( a ) = ( b + c ) a + bc +1 (1a1)4若 b + c = 0 原不等式显然成立。若 b + c 0，则 f ( a ) 是 a 的一次函数， f ( a ) 在（1,1）上为单调函数而 f ( -1 ) =bc + bc +1（1b） （1c）0f ( 1 )bcbc1（1b） （1
8、c）0f ( a ) 0 即 abbc ca1此题还可由题设构造不等式：（1a） （1b） （1c）0（1a） （1b） （1c）0两式相加得：22（abbc ca）0 即 abbcca 1八、构造对偶式证明不等式例 10：对任意自然数 n，求证：(1+1)(1+ )(1+ ) 423n3证明：设 an = (1+1)(1+ )(1+ ) = 4123157841构造对偶式：b n = ，c n = 56894n369032n1， ，即 an bn，a n cn， an bn cn132112a n ，即：(1+1)(1+ )(1+ ) 343312.放缩法证明不等式近年来在高考解答题中，常渗
9、透不等式证明的内容，而不等式的证明是高中数学中的一个难点，它可以考察学生逻辑思维能力以及分析问题和解决问题的能力。 “放缩法”它可以和很多知识内容结合，对应变能力有较高的要求。因为放缩必须有目标，而且要恰到好处，目标往往要从证明的结论考察，放缩时要注意适度，否则就不能同向传递。1、添加或舍弃一些正项（或负项）例 1、已知 求证：*21().naN*1231.().2naanN证明： 11 .,12,.().3kkkkk n12 231 1. .)(),32n nnaa*231.().nnN若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值，多项式的值变小。由于证明不等式的需要，有
10、时需要舍去或添加一些项，使不等式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达5到证明的目的。本题在放缩时就舍去了 ，从而是使和式得到化简.2k2、先放缩再求和（或先求和再放缩）例 2、函数 f（x ）= ，求证：f （1）+ f（2）+f （ n）n+ .x41 )(21*Nn证明：由 f(n)= =1-nnn得 f（1）+f（2）+f（n） n21211.)()4( *11Nnn此题不等式左边不易求和,此时根据不等式右边特征, 先将分子变为常数，再对分母进行放缩，从而对左边可以进行求和. 若分子 , 分母如果同时存在变量时 , 要设法使其中之一变为常量，分式的放缩对于分子分母均取正值的分式。如需放
11、大，则只要把分子放大或分母缩小即可；如需缩小，则只要把分子缩小或分母放大即可。3、先放缩，后裂项（或先裂项再放缩）例 3、已知 an=n ，求证： 3n k=1证明： = 1 n k=1 2kn k=1 3n k=2 n k=2= 21()k=1 ( ) n k=2=11 2 31本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达目标.4、放大或缩小“因式”；例 4、已知数列 满足 求证：na211,0,na121().3nkka证明： 2211130,.46n 231,0,6ka当 时121111()()().63nnkkknaaa本题通过对因式 放大，而得到一个容易求和的式子
12、 ，最终得出证明.2k 11()ka5、逐项放大或缩小6例 5、设 求证：)1(4321nan 2)1(2)1(nan证明： n2)( )()(2 1n ， 2)1(3321nan 2)1(2)1(nan本题利用 ，对 中每项都进行了放缩，从而得到可以求和的数列，达到化简1()nn的目的。6、固定一部分项，放缩另外的项；例 6、求证： 2221734n证明： 21()n22221 1517()().33424nnn 此题采用了从第三项开始拆项放缩的技巧，放缩拆项时，不一定从第一项开始，须根据具体题型分别对待，即不能放的太宽，也不能缩的太窄，真正做到恰倒好处。7、利用基本不等式放缩例 7、已知 ，证明：不等式 对任何正整数 都成立.54na51mnnamn，证明：要证 ，只要证 .1mna2na因为 ， ，54n(54)50()16mn故只要证 ，()120162mna即只要证 .2037mnna因为 ，所以命题得证.58mna58(1529)n037n本题通过化简整理之后，再利用基本不等式由 放大即可。2ma
