1、2016-2017 学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（理科） （二）一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1函数 y= 的定义域是 2设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z（1+i）=（1 i） ，则复数 z 的模|z|= 3 “a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+（a1）y+7=0 平行”的 条件 （选“ 充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空）4若样本数据 x1，x 2，x 10 的标准差为 8，则数据 2x11，2x 21，2x 101 的标准差为 5阅读程序框图，
2、运行相应的程序，则输出的值为 6若等差数列a n的公差为 2，且 a1，a 2，a 4 成等比数列，则 a1= 7袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球中有黄球的概率为 8圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为 2 的扇形，则圆锥的体积是 9已知 sin2x cos2x=2cos（2x ） （ ） ，则 = 10已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线过点（ 2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为 11已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=120，点 E，F 分别在边
3、 BC，DC 上，BC=3BE，DC= DF，若 =1，则 的值为 12如果函数 f（x）= （m2）x 2+（n 8）x+1（m0，n0）在区间 上单调递减，则 mn 的最大值为 13已知函数 f（x）= 则方程 f（x）=ax 恰有两个不同实数根时，实数 a 的取值范围是 14已知圆 O：x 2+y2=4，点 M（1，0）圆内定点，过 M 作两条互相垂直的直线与圆 O 交于 AB、CD ，则弦长 AC 的取值范围 二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分）15在ABC 中，A= ，AB=6 ，AC=3 （1）求 sin（B+ ）的值；（2）若点 D 在 BC 边上，AD=BD，求 A
4、D 的长16在四棱锥 PABCD 中，PC平面ABCD，DC AB，DC=2 ，AB=4，BC=2 ，CBA=30 （1）求证：ACPB；（2）若 PC=2，点 M 是棱 PB 上的点，且 CM平面 PAD，求 BM 的长17某油库的设计容量是 30 万吨，年初储量为 10 万吨，从年初起计划每月购进石油 m 万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油 1 万吨，区域外前 x 个月的需求量 y（万吨）与 x 的函数关系为 y= （p0，1x16，xN *） ，并且前 4 个月，区域外的需求量为 20 万吨（1）试写出第 x 个月石油调出后，油库内储油量 M（万吨）与 x 的函数关系式
5、；（2）要使 16 个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定 m 的取值范围18平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别是 F1，F 2，以 F1 为圆心以 3 为半径的圆与以 F2 为圆心以 1 为半径的圆相交，且交点在椭圆 C 上（1）求椭圆 C 的方程；（2）过椭圆 C 上一动点 P（x 0，y 0） （y 00）的直线 l： + =1，过 F2 与 x 轴垂直的直线记为 l1，右准线记为 l2；设直线 l 与直线 l1 相交于点 M，直线 l 与直线 l2 相交于点 N，证明 恒
6、为定值，并求此定值若连接 F1P 并延长与直线 l2 相交于点 Q，椭圆 C 的右顶点 A，设直线 PA 的斜率为 k1，直线 QA 的斜率为 k2，求 k1k2 的取值范围19设数列a n的前 n 项和 Sn0，a 1=1，a 2=3，且当 n2 时，a nan+1=（a n+1an）S n（1）求证：数列S n是等比数列；（2）求数列a n的通项公式；（3）令 bn= ，记数列b n的前 n 项和为 Tn设 是整数，问是否存在正整数 n，使等式 Tn+ 成立？若存在，求出 n 和相应的 值；若不存在，说明理由20已知 a 为实常数，函数 f（x）=lnxax +1（）讨论函数 f（x）的单
7、调性；（）若函数 f（x）有两个不同的零点 x1，x 2（x 1x 2） （）求实数 a 的取值范围；（）求证： x 11，且 x1+x22 （注：e 为自然对数的底数）选修 4-2：矩阵与变换21已知 x，yR，矩阵 A= 有一个属于特征值2 的特征向量 a= ，（1）求矩阵 A；（2）若矩阵 ，求 A1B选修 4-4：坐标系与参数方程 22在直角坐标系 xoy 中，曲线 C1： （t 为参数， t0） ，其中 0，在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=2sin，曲线 C3：=2 cos（）求 C2 与 C3 交点的直角坐标；（）若 C2 与 C1 相交于点 A，C
8、3 与 C1 相交于点 B，求 |AB|的最大值23为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加，现有来自甲协会的运动员 3 名，其中种子选手 2 名，乙协会的运动员 5 名，其中种子选手 3 名，从这 8 名运动员中随机选择 4 人参加比赛（）设 A 为事件“选出的 4 人中恰有 2 名种子选手，且这 2 名种子选手来自同一个协会”，求事件 A 发生的概率；（）设 X 为选出的 4 人中种子选手的人数，求随机变量 X 的分布列和数学期望24若抛物线 C 的顶点在坐标原点 O，其图象关于 x 轴对称，且经过点 M（2，2） （1）求抛物线 C 的方程；（2）过点 M 作抛物
9、线 C 的两条弦 MA，MB ，设 MA，MB 所在直线的斜率分别为k1，k 2，当 k1，k 2 变化且满足 k1+k2=1 时，证明直线 AB 恒过定点，并求出该定点坐标2016-2017 学年江苏省常州市高级中学高三（上）阶段调研数学试卷（理科） （二）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上）1函数 y= 的定义域是 （1，+） 【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据二次根式的性质以及父母不为 0，得到关于 x 的不等式，解出即可【解答】解：由题意得：x+10，解得：x1，故函数的定义域是（1，+） ，故
10、答案为：（1，+） 2设 i 是虚数单位，若复数 z 满足 z（1+i）=（1 i） ，则复数 z 的模|z|= 1 【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、模的计算公式即可得出【解答】解：z（1+i）=（1i） ，z （1+i） （1i ）=（1i ） （1 i） ，2z=2i，z= i则复数 z 的模|z |=1故答案为：13 “a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+（a1）y+7=0 平行”的 充分不必要 条件 （选“ 充分不必要”“ 必要不充分 ”“充要 ”“既不充分也不必要”填空）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】由直线 ax+2y+
11、3a=0 和直线 3x+（a 1）y+7=0 平行，可得 ，解出即可判断出结论【解答】解：由直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+（a 1）y+7=0 平行，可得 ，解得 a=3 或 2“a=3”是“直线 ax+2y+3a=0 和直线 3x+（a1）y+7=0 平行”的充分不必要条件故答案为：充分不必要4若样本数据 x1，x 2，x 10 的标准差为 8，则数据 2x11，2x 21，2x 101 的标准差为 16 【考点】极差、方差与标准差【分析】根据标准差和方差之间的关系先求出对应的方差，然后结合变量之间的方差关系进行求解即可【解答】解：样本数据 x1，x 2，x 10 的标准差为 8
12、， =8，即 DX=64，数据 2x11，2x 21，2x 101 的方差为 D（2X 1）=4DX=464，则对应的标准差为 =16，故答案为 165阅读程序框图，运行相应的程序，则输出的值为 4 【考点】循环结构【分析】利用循环体，计算每执行一次循环后 a 的值，即可得出结论【解答】解：第一次循环，i=1，a=2；第二次循环，i=2 ，a=22+1=5；第三次循环，i=3，a=35+1=16；第四次循环，i=4，a=416+1=6550，退出循环，此时输出的值为 4故答案为 4：6若等差数列a n的公差为 2，且 a1，a 2，a 4 成等比数列，则 a1= 2 【考点】等比数列的通项公式
13、；等差数列的通项公式【分析】把 a2，a 4 用 a1 和常数表示，再由 a1，a 2，a 4 成等比数列列式求得 a1【解答】解：等差数列a n的公差为 2，a 2=a1+2，a 4=a1+6，又 a1，a 2，a 4 成等比数列， ，解得：a 1=2故答案为：27袋中有形状、大小都相同的 4 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，则这 2 只球中有黄球的概率为 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率【分析】先求出基本事件总数，再求出这 2 只球中有黄球包含的基本事件个数，由此能求出这 2 只球中有黄球的概率【解答】解：袋中有形状、大小都相同的 4
14、 只球，其中 1 只白球，1 只红球，2 只黄球，从中一次随机摸出 2 只球，基本事件总数 n= =6，这 2 只球中有黄球包含的基本事件个数 m= =5，这 2 只球中有黄球的概率为 p= = 故答案为： 8圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为 2 的扇形，则圆锥的体积是 【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台） 【分析】设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，利用圆锥的侧面展开图是圆心角为 ，面积为 2 的扇形，列出关系式，即可求出 l，r ，然后求出圆锥的高，即可求解圆锥的体积【解答】解：设圆锥的底面半径为 r，母线长为 l，由题意知 = ，且 2rl=2 ，解得 l=2，r= ，所以圆锥高 h
15、= = =1，则体积 V= r2h=故答案为：9已知 sin2x cos2x=2cos（2x ） （ ） ，则 = 【考点】两角和与差的余弦函数；三角函数中的恒等变换应用【分析】由条件利用两角和差的余弦公式，诱导公式可得 cos（2x ）=cos（2x） ，由此求得 的值【解答】解：sin2x cos2x=2cos（2x ） （ ） ，sin （2x ）=cos（2x） ，即 cos（2x ）=cos（2x ） ，= ，故答案为： 10已知双曲线 =1（a0，b0）的一条渐近线过点（ 2， ） ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，则双曲线的方程为 【考点】双曲线的简单性质【分
16、析】由抛物线标准方程易得其准线方程，从而可得双曲线的左焦点，再根据焦点在 x轴上的双曲线的渐近线方程渐近线方程，得 a、b 的另一个方程，求出 a、b，即可得到双曲线的标准方程【解答】解：由题意， = ，抛物线 y2=4 x 的准线方程为 x= ，双曲线的一个焦点在抛物线 y2=4 x 的准线上，c= ，a 2+b2=c2=7，a=2，b= ，双曲线的方程为 故答案为： 11已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=120，点 E，F 分别在边 BC，DC 上，BC=3BE，DC= DF，若 =1，则 的值为 2 【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据向量的基本定理，结合数量积的运算公式，建
17、立方程即可得到结论【解答】解：BC=3BE，DC=DF， = ， = ，= + = + = + ， = + = + = + ，菱形 ABCD 的边长为 2，BAD=120，| |=| |=2， =22cos120=2， =1，（ + ） （ + ）= + +（1+ ） =1，即 4+ 42（1+ ） =1，整理得 ，解得 =2，故答案为：212如果函数 f（x）= （m2）x 2+（n 8）x+1（m0，n0）在区间 上单调递减，则 mn 的最大值为 18 【考点】二次函数的性质【分析】函数 f（x）= （m2）x 2+（n 8）x+1（m0，n0）在区间 ，2上单调递减，则 f（x）0，即（
18、 m2）x+ n80 在 ，2上恒成立而 y=（m 2）x+n8 是一次函数，在 ，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处 f（ ）0，f（2）0 即可结合基本不等式求出 mn 的最大值【解答】解：函数 f（x）= （m2）x 2+（n 8）x+1（m0，n0）在区间 ，2上单调递减，f（x）0，即（ m2）x+n 80 在 ，2上恒成立而 y=（m2）x+n8 是一次函数，在 ，2上的图象是一条线段故只须在两个端点处 f（ ）0，f （2）0 即可即 ，由得 m （12n） ，mn n（12n） =18，当且仅当 m=3， n=6 时取得最大值，经检验 m=3，n=6 满足和 mn 的最大值
19、为 18故答案为：1813已知函数 f（x）= 则方程 f（x）=ax 恰有两个不同实数根时，实数 a 的取值范围是 ， ） 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的零点与方程根的关系；分段函数的应用【分析】由题意，方程 f（x） =ax 恰有两个不同实数根，等价于 y=f（x）与 y=ax 有 2 个交点，又 a 表示直线 y=ax 的斜率，求出 a 的取值范围【解答】解：方程 f（x）=ax 恰有两个不同实数根，y=f（x）与 y=ax 有 2 个交点，又a 表示直线 y=ax 的斜率，y= ，设切点为（x 0，y 0） ，k= ，切线方程为 yy0= （xx 0） ，而切线过原点，
20、y 0=1，x 0=e，k= ，直线 l1 的斜率为 ，又直线 l2 与 y= x+1 平行，直线 l2 的斜率为 ，实数 a 的取值范围是 ， ）故答案为： ， ） 14已知圆 O：x 2+y2=4，点 M（1，0）圆内定点，过 M 作两条互相垂直的直线与圆 O 交于 AB、CD ，则弦长 AC 的取值范围 1， +1 【考点】直线与圆的位置关系【分析】根据题意，求出 AC 的中点的轨迹方程，求出 AC 的最大值与最小值，即可得出它的取值范围【解答】解：设 AC 的中点为 P（x，y） ，则 OPAC，| PA|=|PM| = ， = ，|PM |max= ，|PM |min= ，|AC| max= +1，|AC| min= 1，故答案为： 1， +1二、解答题（本大题共 6 小题，共计 90 分）
