1、1第 2 章 一元二次方程2.1 一元二次方程素材一 新课导入设计情景导入 置疑导入 归纳导入 复习导入 类比导入 悬念激趣情景导入 如图 211，学校活动教室矩形地面的长为 8 m，宽为 5 m，现准备在地面的正中间铺设一块面积为 18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，根据这一情境，结合已知量，你能求四周未铺地毯的条形区域的宽度吗？图 211说明与建议 说明：用来源于学生身边的问题吸引他们的注意力，激发他们的好奇心，体会数学来源于生活并服务于生活，诱发学生对新知识的渴求建议：结合情景，鼓励学生小组合作，寻找身边的方程实例，学会找等量关系，为本节课的学习做好铺垫归纳导入 如图
2、212，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四个角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖长方体铁盒如果要制作的无盖铁盒的底面积是 3600 cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？图 212说明与建议 说明：通过图形的变化让学生感知等量关系的确定，整理所得到的方程，通过观察其特征归纳出一元二次方程的定义建议：先用多媒体动画演示无盖长方体铁盒的制作过程，感知长方体铁盒的底面积即是中间小长方形的面积，引导学生发现小长方形的长、宽的表示方法在得到一元二次方程的定义时，抓住三个关键点分析：一是含有一个未知数，二是整式方程，三是未知数的最高次数是 2.悬念
3、激趣 九章算术“勾股”章有一题：“今有二人同所立，甲行率七，乙行率三，乙东行，甲南行十步而斜东北与乙会，问甲、乙行各几何”大意是说：已知甲、乙二人同时从同一地点出发，甲的速度为 7，乙的速度为 3.乙一直向东走，甲先向南走了 10步，后又斜向北偏东方向走了一段后与乙相遇那么相遇时，甲、乙各走了多远？你能找出题中所涉及的一元二次方程吗？说明与建议 说明：通过中国古代提出的问题来调动学生求知的欲望，引导他们分析问题找到等量关系，进而列出一元二次方程在思考中增强自己的感性认识与经验，进而上升到理性观察、思考与推理论证建议：留给学生自主思考的时间，然后引导学生进行分析，为进一步学习积累数学活动经验2素
4、材二 教材母题挖掘教材母题第 29 页习题 2.1T3已知一个数 x 与比它大 2 的数的积等于 35，请根据题意，列出关于 x 的方程，这个方程是一元二次方程吗？【模型建立】分析：根据两数的积等于 35 列方程一个数为 x，另一个比它大 2 的数为( x2)，所以列方程为： x(x2)35，即 x22 x350.根据一元二次方程的定义可知它的一般形式是 ax2 bx c0( a， b， c 是常数， a0)，其中 ax2是二次项， a 是二次项系数； bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项【变式变形】1下列方程中，哪些是一元二次方程？ x32 x250； x21；5 x22 x
5、x22 x ；14 352( x1) 23( x1)； x22 x x21； ax2 bx c0.答案：2.试判断：关于 x 的方程(2a4)x 22bxa0.(1)何时为一元一次方程？(2)何时为一元二次方程？答案：(1)a2，b0 (2)a23写出下列方程的二次项、二次项系数、一次项、一次项系数及常数项4x 24x10；5x 22x x 22x .答案：列表如下：14 34题号 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 4x2 4 4x 4 1 4x2 4 0 0 14.将方程(x1) 2(x2)(x2)1 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项、二次项系数；一次项、一次项系
6、数；常数项答案：2x 22x40，二次项为2x2，二次项系数为 2；一次项为 2x，一次项系数为 2；常数项为4.素材三 考情考向分析命题角度 1 利用一元二次方程的概念判断利用一元二次方程的概念判断方程为一元二次方程，应紧扣以下三个特征：只含有一个未知量；未知量的最高次数是 2；是整式方程特别要注意在判断一元二次方程时要先把方程整理成一般形式，再进行判断例 常宁期中 下列方程中，一元二次方程有( A )(1)3x21；(2) 3；(3)3x 22y10；13x2(4)ax22x10(a 是实数)；(5)2x(3x2)(x1)(6x3)3A1 个 B2 个 C3 个 D4 个命题角度 2 利用
7、一元二次方程的概念求字母系数的值或范围利用一元二次方程的二次项系数不为零或未知数的最高次数为 2，求字母系数的值例 枣庄模拟 求证：关于 x 的方程(m 28m17)x 22mx10，不论 m 取何值，该方程都是一元二次方程证明：因为二次项系数 m28m17(m4) 21，不论 m 取何值，二次项系数都不等于0，所以该方程一定是一元二次方程命题角度 3 一元二次方程的一般形式命题方向常要求把非一般形式的一元二次方程化成一般形式；或要求指出一元二次方程的二次项或二次项系数，一次项或一次项系数，常数项；或求与系数有关的代数式的值特别注意在确定 a，b，c 的值时要包含它前面的符号例 滕州模拟 一元
8、二次方程 a(x1) 2b(x1)c0 化为一般形式后为3x22x10，试求 a2b 2c 2的算术平方根解：a(x1) 2b(x1)c0 化成一般形式为：ax 2(2ab)xabc0，故a3，2ab2，abc1，所以 a3，b4，c0，故 a2b 2c 225，故其算术平方根为 5.命题角度 4 建立一元二次方程模型读懂题目，审清题意，明确已知和未知以及它们之间的关系，找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出方程(只列方程)例 襄阳中考 用一条长 40 cm 的绳子围成一个面积为 64 cm2的长方形设长方形的一边长为 x cm，则可列方程为( B )Ax(20x)64 Bx(20x)6
9、4Cx(40x)64 Dx(40x)64素材四 教材习题答案P28 练习1请用线把左边的方程与右边所对应的方程类型连接起来：2x25xx 23 一元一次方程(x1) 21x 24 一元二次方程3x52x1 分式方程1x 2 3x解：第一个是一元二次方程，第二、三两个是一元一次方程，第四个是分式方程2下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项(1)4x249；(2)5x223x；(3)0.01t22t；(4)(9y1)(2y3)18y 21.解：(1)是 4、0、49；(2)是 5、3、2; 4(3)是 0.01、2、0；(4)不是P28 习题 2.11下列方程是
10、否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项(1)x25x6；(2)3x4x 2；(3)(102x)(62x)32；(3)(3x2) 23x(3x5)解：(1)是 1、5、6；(2)是 1、3、4；(3)是 1、8、7；(4)不是2选择题：(1)某商品经过两次连续降价，每件售价由原来的 55 元降到了 35 元设平均每次降价率都为 x，则平均降价率 x 应满足的方程为( )A55(1x) 235B35(1x) 255C55(1x) 235D35(1x) 255(2)某超市 1 月份的营业额为 36 万元，3 月份的营业额为 49 万元设第月营业额的平均增长率都为 x，则平均
11、增长率 x 应满足的方程为( )A49(1x) 236B36(1x) 249C36(1x) 249D49(1x) 236解：(1) C (2) C3已知一个数 x 与比它大 2 的数的积等于 35.请根据题意，列出关于 x 的方程，这个方程是一元二次方程吗？答案 x(x2)35 是4如图，将一根长为 64 cm 的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形若两个正方形的面积和为 160 cm2，且其中一个正方形的边长为 x cm.请根据题意，列出关于 x 的方程解：x 2(16x) 2160.5下列方程中，哪些是一元二次方程？(1)3(1x) 23x7；(2)3(1x) 2x(3x7)；(3)px2x
12、4x(px1)解：第一个是，其他都不是6如图，在一块边长为 x cm 的正方形铁皮的四角各截去一边长 5 cm 的小正方形，折成一个无盖的长方体盒子，它的容积是 2 000 cm3.请根据题意，列出关于 x 的方程5解：5(x10) 220007长 5 m 的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙的距离是 3 m已知梯子底端向右滑动的距离与梯子顶端向下滑动的距离相等，设梯子顶端向下滑动的距离为 x m请根据题意，列出关于 x 的方程解：由题意得，未滑动前梯子的顶端离墙的距离为 4 m，则(4x) 2(3x) 25 2.素材五 图书增值练习专题 一元二次方程定义的应用1若 x3 a3 x100 和 x3
13、b4 6 x80 都是一元二次方程，求( a b)的值2若设 a 是二次项系数， b 是一次项系数， c 是常数项且 2| b3|(12a 2)0.请写出关于 x 的一元二次方程a b c3若( m2) x|m|9 x70 是一元二次方程，且 m 满足不等式 4m n0，求 n 的取值范围参考答案：1分析：由一元二次方程的定义，知每个方程 x 的最高次数均为 2 次解：依题意Error!解得 Error! a b3.2分析：已知条件中的等式是典型的多个非负数之和为 0 的情形，可利用非负数的性质作为问题的切入点解：由已知得20.| b3|0， 0， a4， b3.(12a 2) a b c代入
14、 0 得 c7. 要求的方程为 4x23 x70.a b c3分析：由一元二次方程的定义可求出 m 的值，进而将 m 的值代入不等式 4m n0 中解关于 n 的不等式解：由已知得Error!解得 m2.原不等式变为 4(2) n0，8 n0， n8.6素材六 数学素养提升巴拿赫的年龄巴拿赫（ S.Banach ），1892 年 3 月 30 日生于波兰的克拉科夫，1945 年 8 月 31 日卒于苏联乌克兰加盟共和国的利沃夫，为了表示对这位杰出数学家的悼念，1960 年在波兰召开的泛函分析国际会议上，举行了纪念巴拿赫的仪式，特别编写了一道关于他的生平的智力试题：巴拿赫病故于 1945 年 8
15、 月 31 日。他的出生年份恰好是他在世时某年年龄的平方，问：他是哪年出生的？ 我们可以设他在世时某年年龄为 x，则 x21945，且 x 为自然数。其出生年份 x2-x=x（x-1），他在世年龄 1945-x（x-1），由于 44.1，则 x 应为 44 或略小于 44 的数；1945当 x=44 时，x（x-1）=4443=1892，算得其在世年龄为 1945-1892=53；当 x=43 时，x（x-1）=4342=1806，算得其在世年龄为 1945-1806=139；若 x 再取小，其在世年龄越大，显然不妥.故 x=44，即他出生于 1892 年，终年 53 岁.上面问题的解决的方法就是我们常用的两边“夹逼”的方法估算一元二次方程的近似根，希望同学们在生活中能够灵活应用这种方法.
