1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理科）一、选择题：本大题共 10 小题，每小题分，满分 50 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.已知 （i 为虚数单位） ，则复数 z（ ）-=1+z2（ i）A. iB.1iC. -1iD. -1i答案：D 解析：2(1)().2iiz i设 ,AB是两个集合，则“ AB”是“ AB”的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件答案：C 解析： ,得 ，反之，当 时，|,ABxBA且 AB，故为充要条件。执行如图所示的程序框图.如果输入 3n，则输出的 S（ ）A. 67B.
2、 37C. 89D. 49 答案：B 解析：执行程序框图，进入循环后，的值依次为：退出循环，输出 。123,;,;,4;357SiiSi37S若变量 ,xy满足约束条件12xy，则 3zxy的最小值为（ ）A. 7B. 1C.1D. 2答案：A 解析：作出可行域，为图中三角形 ABC 内部（包括边界） ，平行直线 ，过点 ，取最小30xy(,1)A值-7。设函数 ()ln1)l()fxx，则 ()f是（ ）A.奇函数，且在 0,上是增函数 B.奇函数，且在 0,1上是减函数C.偶函数，且在 ,1上是增函数 D.偶函数，且在 ,上是减函数答案：A 解析：函数的定义域为 ， ，故函数 为奇函数，当
3、(,)()ln1)l()(fxxf()fx时， ，故函数 在 上是增函数。01x1)0fxf0,1已知 的展开式中含32x的项的系数为 30，则 a（ ）5aA. 3B.C. 6D. 6答案：D 解析： ，由 ，解得 ，由 ，得5251 5()()rrrrr aTCxCx 32r1r15()30Ca，故选（D） 。6a在如图所示的正方形中随机投掷 10000 个点，则落入阴影部分（曲线 C为正态分布 0,1N的密度曲线）的点的个数的估计值为（ ）A. 2386 B. 2718C. 3413 D. 4772附：若 2,N:，则0.68P22.954答案：C 解析：由 ，得 ，则阴影部分的面积为
4、0.3413，故估计落(1)0.682PX(01).34PX入阴影部分的点的个数为 ，故选（C） 。.341已知点 ,ABC在圆 2xy上运动，且 AB.若点 P的坐标为 2,0，则P的最大值为（ ）A. B. C. D.答案：B解析: 为 的斜边，则 为圆 的一条直径，故 必经过原点（设原点为 O，即ACRtBAC21xyAC为圆心） ，则 ，即 ，又 ，2POPBPOBP所以 32296= =7，当且仅当 时取219612cos712cos71018OB“等号” ，故 的最大值为 7.PABC将函数 ()sin2fx的图象向右平移 02个单位后得到函数 ()gx的图象，若对满足12()fg
5、的 12,有 12min3x，则 （ ）A. 5B.C. 4D. 6答案：D 解析：向右平移 个单位后，得到 )2sin()xg，又 2|)(|1xgf，不妨kx21， mx22， 1mk，又 12min3x， 63，故选 D.10某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切割，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为新 工 件 的 体 积材 料 利 用 率 =原 工 件 的 体 积A. 89B. 169C. 3421D. 32()答案：A解析：由三视图知，原工件为圆锥，体积为 ，要使长方体新工件的体积最大，则2133其下底在圆锥的底面内
6、，上底是平行于圆锥底面的截面的内接正方形，作轴截面， 为底面正方形的AB对角线，设长方体底面边长为 ，高为 ，则 ， ，长方体体积为ah2ah2a， ，当 时， ，当 时， ，232Vah234V030V230V故函数 在 上是增函数，在 上是减函数，故当 时，232a0,2,a取最大值，最大值为 ，故原工件的材料利用率为 。V32167 1682793二、填空题：本小题共小题，每小题分，共分.11 .20(1)dx答案：0解析： .220()0xx12在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：分钟）的茎叶图如图所示：若将运动员按成绩由好到差编为35 号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩
7、在区间139,5上的运动员人数是 .答案：4解析：由茎叶图可知，在区间 15,39的人数为 20，再由系统抽样的性质可知人数为 435720.13设 F是双曲线2:xyCab的一个焦点.若 C上存在点 P，使线段 F的中点恰为其虚轴一个端点，则 的离心率为 .答案： 5解析：不妨设 ， 的中点为 ，由中点坐标公式可知 ，又点 在双曲线上，则,0FcP(0,)b(,2)Pcb，故 ，即 。241cba25ae14设 nS为等比数列 n的前 项和.若 1a且 成等差数列，则 na .123,S答案： 13解析：因为 成等差数列，所以 ，即 ，化简，得123, 2134121234()3，即等比数列
8、的公比 ，故 。32aqna15已知函数32,()xf，若存在实数 b，使函数 ()gxfb有两个零点，则 a的取值范围是 .答案： ,10,.解析：分析题意可知，问题等价于方程 )(3axb与方程 )(2axb的根的个数和为 2，若两个方程各有一个根，则可知关于 b的不等式组 ab31有解，从而 1；若方程 )(3axb无解，方程 )(2x有 2 个根，则可知关于 b的不等式组 ab31有解，从而0a；综上，实数 a的取值范围是 ),1(0,(.三、解答题：本大题共小题，共 75 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 .16（1 ） （本题满分分）选修：几何证明选讲如图，在 O:中，相
9、交于点 E的两弦 ,ABCD的中点分别是,MN，直线 与直线 CD相交于点 F，证明： 180E； FENMO:。证明：如图 a所示， 因为 M，N 分别是弦 AB,CD的中点，所以 OM AB,ON CD,即 OME= ， ENO= ， OME+ ENO = 。90o90o180o又四边形的内角和等于 ，故 MEN+ NOM= .36由知，O,M,E,N 四点共圆，故由割线定理即得 .FENMO（2 ） （本题满分分）选修：坐标系与参数方程已知直线352:1xtly（ 为参数）.以坐标原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为 2cos将曲线 的极坐标方程化为直角坐标
10、方程；设点 M的直角坐标为 5,3，直线 l与曲线 C的交点为 ,AB，求 M:的值.解： 等价于 。将 ， 代入 ，得曲线2cos2cos22xycosx2cosC 的直线坐标方程为 。0xy将 （ 为参数）代入 ，得 ，设这个方程的两个根分3521xty20xy253180tt别为 ，则由参数 的几何意义知 。12,tt 128MABt（3 ） （本题满分分）选修，不等式选讲设 0,ab且 1ab，证明： 2 与 不可能同时成立.证明：由 得 。1,0,abab1ab由基本不等式及 ，有 ，即 。22假设 与 同时成立，则由 及 ，得 ；同理， 。从22 201a01b而 ，这与 矛盾。故
11、 与 不可能同时成立。1ab2ab17 （本小题满分 12 分）设 ABC的内角 ,的对边分别为 ,c， tanA，且 B为钝角.（1 ）证明： 2；（2 ）求 sin的取值范围 .（1）证明：由 a=btanA及正弦定理，得 ,所以 sinB=cosA，即sinsicoaAbBsinB=sin（ +A）.2又 B为钝角 ，因此 +A （ ， ） ，故 B= +A，即 B-A= .22(2)解：由（ 1）知，C= -（A+B ）= -(2A+ )= -2A0，所以 A ，20,4于是sinA+sinC=sinA+sin（ -2A）2= sinA+cos2A=-2 A+sinA+1sin=-2（sinA- ） +14298因为 0= = .212|n22233(6)(6)45mm而二面角 P-QD-A的余弦值为 ，因此 = ，72()457解得 m=4，或者 m=8（舍去） ，此时 Q（6,4,0）设 = (0 1),而 =（0，-3,6） ，由此得点 P（0,6-3 ，6 ） ，DP11D=（ 6，3 -2，-6 ）.Q因为 PQ/平面 ,且平面 的一个法向量是 =（0,1,0） ，所以 =0，即 3 -2=0，1AB1BA3nQ3n亦即 = ，从而 P（0,4,4）23
