1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）数 学（理工类）第 I 卷（选择题共 50 分）一、选择题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1、若集合 （ 是虚数单位） ， ，则 等于 234,Aii1,BABA. B. C. D. 12、下列函数为奇函数的是A. B. C. D. yxsinxcosyxxye3、若双曲线 的左、右焦点分别为 ，点 在双曲线 上，且2:196E12,FPE，则 等于1PF2A.11 B.9 C.5 D.34、为了解某社区居民的家庭年收入所年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下
2、统计数据表：收入 （万x元）8.2 8.6 10.0 11.3 11.9支出 （万y元）6.2 7.5 8.0 8.5 9.8根据上表可得回归本线方程 ，其中 ，据此估计，该社区ybxa0.76,baybx一户收入为 15 万元家庭年支出为A.11.4 万元 B.11.8 万元 C.12.0 万元 D.12.2 万元5、若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ,xy20,xy2zxyA. B. C. D.2236、阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为A.2 B.1 C.0 D. 17、若 是两条不同的直线， 垂直于平面 ，则“ ”是“ ”的 ,lmmlm/lA.充分而不必要条
3、件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件8、若 是函数 的两个不同的零点，且 这三,ab20,fxpq,2ab个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于pqA.6 B.7 C.8 D.99、已知 ，若 点是 所在平面内一点，且1,ABCAttPABC，则 的最大值等于4PPA.13 B.15 C.19 D.2110、若定义在 上的函数 满足 ，其导函数 满足 Rfx01ffx1fxk，则下列结论中一定错误的是A. B. C. D. 1fk1fk1fk1fk第 II 卷（非选择题共 100 分）二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 4 分，共
4、 20 分.把答案填在答题卡的相应位置.11、 的展开式中， 的系数等于 .（用数字作答）52x2x12、若锐角 的面积为 ，且 ，则 等于 .ABC1035,8ABCB13、如图，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，函数 ，若在矩形, 242fx内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 .D14、若函数 （ 且 ）的值域是6,23log,axf0a1，则实数 的取值范围是 .4,15、一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 ，其中 称*12nxN 1,2kxn为第 位码元，二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误（即码元k由 0 变为 1，或者由 1 变为 0）已知某种二元码
5、 的码元满足如下校验方程组： 127x 45672310,xx其中运算 定义为： .0,1,0,现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利k用上述校验方程组可判定 等于 .k16.某银行规定，一张银行卡若在一天内出现 3 次密码尝试错误，该银行卡将被锁定，小王到银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但是可以确定该银行卡的正确密码是他常用的 6 个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择 1 个进行尝试.若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定.(1)求当天小王的该银行卡被锁定的概率；(2)设当天小王用该银行卡尝试密码次数为 X，求 X
6、 的分布列和数学期望.17.如图，在几何体 ABCDE 中，四边形 ABCD 是矩形，AB 平面BEG，BE EC，AB=BE=EC=2 ，G，F 分别是线段 BE，DC 的中点.(1)求证：GF 平面 ADE A(2)求平面 AEF 与平面 BEC 所成锐二面角的余弦值.18. 已知椭圆 E： 过点 ，且离心率为 .21(a0)xyb+=(,2） 2(1)求椭圆 E 的方程； (2)设直线 交椭圆 E 于 A，B 两点，判断点 GxmyR-， () 9(4-,0)与以线段 AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由.19.已知函数 的图像是由函数 的图像经如下变换得到：先将 图像上f()x()c
7、osgx=()gx所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变） ，再将所得到的图像向右平移 个单位2p长度.(1)求函数 的解析式，并求其图像的对称轴方程；f()x(2)已知关于 的方程 在 内有两个不同的解f()gxm+=0,2)p,ab1)求实数 m 的取值范围；2)证明：2cos)1.5ab-(20.已知函数 ，f()ln1)x=+(,k),gxR=(1)证明：当 ；0；(3)确定 k 的所以可能取值，使得存在 ，对任意的 恒有 .t,， t 2|f()|x-+所以 ，故 G 在以 AB 为直径的圆外.|94-,解法二：(1)同解法一.(2)设点 ，则12(y),B),Ax1299A
8、(,)GB(,).44xyxy=+=+由 所以22(m)30,4y=- +-得 12123,=m，从而 1212121295GAB()()(y)44x=+21212225535(+)y6()6=+-270()+=所以 不共线，所以 为锐角.cos,0,GAB又 ， AGB故点 G 在以 AB 为直径的圆外.9(4-)19. 本小题主要考查三角函数的图像与性质、三角恒等变换等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、分类与整体思想、化归与转化思想、数形结合思想. 满分 13 分.解法一：(1)将 的图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变）得()co
9、sgx=到 的图像，再将 的图像向右平移 个单位长度后得到y2csy2sxp的图像，故o()xp=-f()in从而函数 图像的对称轴方程为fsin(kZ).2x=+(2)1) 21f()g2sinco5(sincos)5xxx+=+2i()i,5jjj=其 中依题意， 在区间 内有两个不同的解 当且仅当 ，故 msin()=5mxj+0,2)p,ab|1故对任意正实数 均满足题意.0当 .11(),=0kkx-， 对 任 意 恒 有 ()x0),即 .G()f()xg综上，当 时，总存在 ,使得对任意的 .1k(3)当 时，由（1）知，对于 ，(,)x“+fg， 故，|f()|()kln1xgxf-=-令 ，则有2Mkln,0)+，1-(k1() ,xx+-故当 时， , 在2()8()04k+-（ ， M()0x()上单调递增，故 ,即 ,所以2()(1)-， ()=2|f()|xg-满足题意的 t 不存在.当 时，由（2）知存在 ,使得对任意的 .1k0(),x任 意 ， 恒 有 f()x此时 ,|f()|f()ln(1)kxg-=-+-令 ，则有2Nlnk,x+，
