1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（新课标 1 卷）文数一、选择题：每小题 5 分,共 60 分1、已知集合 ，则集合 中的元素个数为32,6,8102,4AxnNBAB（A） 5 （ B）4 （C）3 （D）2【答案】D【解析】试题分析：由条件知，当 n=2 时，3n+2=8，当 n=4 时，3n+2=14，故 AB=8,14,故选 D.来源:学科网考点：集合运算2、已知点 ，向量 ，则向量 (0,1)3,2AB(4,3)ACBC（A） （B） （C） （D）74)7(1,4)(1,4)【答案】A考点：向量运算3、已知复数 满足 ，则 （ ） z(1)iz（A） （B） （C ） （D
2、）22i2i2i【答案】C【解析】试题分析： ，z= ，故选 C.(1)zi21()iii考点：复数运算4、如果 3 个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这 3 个数为一组勾股数，从 中任1,2345取 3 个不同的数，则这 3 个数构成一组勾股数的概率为（ ）（A） （B） （C） （D）101510120【答案】C【解析】试题分析：从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取法，其中的勾股数只有 3,4,5，故1,2453 个数构成一组勾股数的取法只有 1 种，故所求概率为 ，故选 C.来源:学*科*网 Z*X*X*K10考点：古典概型5、已知椭圆 E 的
3、中心为坐标原点，离心率为 ，E 的右焦点与抛物线 的焦点重合， 是 C22:8Cyx,AB的准线与 E 的两个交点，则 AB（A） （B） （C） （D）36912【答案】B考点：抛物线性质；椭圆标准方程与性质6、 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问”积及为米几何？”其意思为：“ 在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一） ，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放的米有（ ）（A） 斛 （B） 斛 （C） 斛 （
4、D） 斛142366【答案】B【解析】试题分析：设圆锥底面半径为 r，则 = ，所以米堆的体积为 =1284r132163()54，故堆放的米约为 1.6222，故选 B.32093209考点：本题主要考查圆锥的性质与圆锥的体积公式7、已知 是公差为 1 的等差数列， 为 的前 项和，若 ，则 （ ）nanSa84S10a（A） （B） （C ） （ D）2921012【答案】B【解析】试题分析：公差 ， ， ，解得 = ，1d84S11874(3)22aa1a2，故选 B.10992a考点：等差数列通项公式及前 n 项和公式8、函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为（ ）()cos)
5、fx()fx（A） 13,4kkZ（B） (2)（C） ,kk（D） 13()4Z【答案】D【解析】试题分析：由五点作图知， ，解得 ， ，所以 ，令1+4253=4()cos)4fx，解得 ， ，故单调减区间为（ ，22,4kxkZ14kx3kZ12k） ， ，故选 D.3考点：三角函数图像与性质9、执行右面的程序框图，如果输入的 ，则输出的 （ ）0.1tn（A） （B） （C） （D）562【答案】C考点：程序框图10、已知函数 ，且 ，则 12,()log()1xf()3fa(6)fa（A） （B） （C ） （D）7454414【答案】A【解析】试题分析： ，当 时， ，则 ，此等式
6、显然不成立，()3fa1a1()23af12a当 时， ，解得 ，1a2log7 = ，故选 A.(6)fa(1f724考点：分段函数求值；指数函数与对数函数图像与性质11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为 ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和r俯视图如图所示，若该几何体的表面积为 ，则 ( ) 1620（A） （B）12（C） （D）48【答案】B【解析】试题分析：由正视图和俯视图知，该几何体是半球与半个圆柱的组合体，圆柱的半径与球的半径都为 r，圆柱的高为 2r，其表面积为 = =16 + 20 ，解得 r=2，故选2214rr254rB.考点：简单几何体的三视图；球的表
7、面积公式；圆柱的测面积公式12、设函数 的图像与 的图像关于直线 对称，且 ，则 ( )()yfx2xayyx(2)41ffa（A） （B） （C） （D ）114【答案】C【解析】试题分析：设 是函数 的图像上任意一点，它关于直线 对称为（ ） ，由已知知(,)xy()fxyx,yx（ ）在函数 的图像上， ，解得 ，即,y2xa2ya2log()a， ，解得 ，故选 C.2()log()fx()4log41ff 2考点：函 数对称；对数的定义与运算二、填空题：本大题共 4 小题,每小题 5 分来源:学|科| 网 Z|X|X|K13、数列 中 为 的前 n 项和，若 ，则 .na112,nn
8、aS126nS【答案】6【解析】试题分析： ，数列 是首项为 2，公比为 2 的等比数列，112,naan ， ，n=6.()6nS4考点：等比数列定义与前 n 项和公式14. 已知函数 的图像在点 的处的切线过点 ，则 .31fxa1,f2,7a【答案】1【解析】试题分析： ， ，即切线斜率 ，2()31fxa()31fa31ka又 ，切点为（1， ） ，切线过（2,7） ， ，解得 1.()f 27a考点：利用导数的几何意义求函数的切线；常见函数的导数；15. 若 x,y 满足约束条件 ,则 z=3x+y 的最大值为 201xy【答案】4【解析】试题分析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出
9、直线 ： ，平移直线 ，当直线 :z=3x+y 过0l3xy0ll点 A 时，z 取 最大值，由 解得 A（1,1） ，z=3x+y 的最大值为 4.2=01xy考点：简单线性规划解法16. 已知 是双曲线 的右焦点，P 是 C 左支上一点， ，当 周长最小时，F2:18yCx0,6AAPF该三角形的面积为 【答案】 来源:学科网126考点：双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题三、解答 题17. （本小题满分 12 分）已知 分别是 内角 的对边， .,abcABC,2sinisnBAC（I）若 ，求 abcos;B（II）若 ，且 求 的面积.902,【答案】 （I） （II ）1
10、4【解析】试题分析：（I）先由正弦定理将 化为变得关系，结合条 件 ，用其中一边把另2sinisnBACab外两边表示出来，再用余弦定理即可求出角 B 的余弦值；（II）由（I）知 ，根据勾股定理和即可2c=求出 c，从而求出 的面积.AC试题解析：（I）由题设及正弦定理可得 .2bac=又 ，可得 , ,ab=2ca=由余弦定理可得 .21os4bB+-（II）由(1)知 .2bac因为 90，由勾股定理得 .=22cb+=故 ，得 .2ac+ca所以 ABC 的面积为 1.D考点：正弦定理 ；余弦定理；运算求解能力18. （本小题满分 12 分）如图四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC
11、与 BD 交点， ，BEACD平（I）证明：平面 平面 ；AECBD（II）若 ， 三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.120B,EAC63【答案】 （I）见解析（II ） 3+5试题解析：（I）因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC BD，因为 BE 平面 ABCD，所以 AC BE，故 AC 平面 BED.又 AC 平面 AEC，所以平面 AEC 平面 BED（II）设 AB= ，在菱形 ABCD 中，由 ABC=120，可得 AG=GC= ,GB=GD= .x32x2因为 AE EC，所以在 AEC 中，可得 EG= .RtD32x由 BE 平面 ABCD，知 EBG 为直角三角形
12、，可得 BE= .由已知得，三棱锥 E-ACD 的体积 .故 =23163224EACDVGBEx-=从而可得 AE=EC=ED= .6所以 EAC 的面积为 3， EAD 的面积与 ECD 的面积均为 .D5故三棱锥 E-ACD 的侧面积为 .+25考点：线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力19. （本小题满分 12 分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的宣传费 和年销售量i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值
13、.1,28ixyw21()niix21()niiw1()niiixy1()niiiwy46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 w1 = 1, ， =x81ni（I）根据散点图判断， 与 ，哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方yabxycdx程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II）根据（I）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（III）已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 ，根据（II）的结果回答下列问题：0.2z（i）当年宣传费 =49 时，年销售量及年利润的预报值时多少？x（ii）当年宣传费 为何值时，年利
14、润的预报值最大？附：对于一组数据 , ， ,其回归线 的斜率和截距的最1()uv2()nuvvu小二乘估计分别为：，A12()=niiiiiuvA=vu【答案】 （） 适合作为年销售 关于年宣传费用 的回归方程类型（）ycdxyx（）46.2410.68y【解析】试题分析：（）由散点图及所给函数图像即可选出适合作为拟合的函数；（）令 ，先求出建wx立 关于 的线性回归方程，即可 关于 的回归方程；（ ）()利用 关于 的回归方程先求出年销ywyxy售量 的预报值，再根据年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x 即可年利润 z 的预报值；（）根据（）的结果知，年利润 z 的预报值，列出关于 的方程，利用二次函数求最值的方法即可求出年利润取最大值时的年宣传费用.
