1、20062007 学年第二学期数学分析试题 A（0601，0602，0603）一：填空（20 分）1. 必要 2. 两， 1、-1 3. 1、0 4. 0 5. 不同时为 0 6. ()xty与 sin(),2xN7. 8. 充要 9. 3,1lmnba二：判断（16 分）三：计算下列各题（15 分）222221ln() (3)1ln()() 4 (5) xdxxxdxC分 分分222221sin(3)icosine1s(cos)(4)ec1tanosdxxdxdxxC 与与tansec(5)xC与2132133l()(3)ln|(|)2 (5) 9eeedxx分分四：解下列各题（28 分）1
2、0231102123110ln(). ()(4)()5)(1()(7)nnnxdxdxx 与与!2).lim(1na对于级数 ，当 时， （4 分）!， （6 分）1!(2)0()nnuna由比式判别法知该级数收敛，由级数收敛的必要条件知 （7!(2)lim0na分）22222221113.lim()()li (3)()()1()li 5()nnnnnnni 与与这里的和式是函数 在区间 上的一个积分和，于是21fx0,1有 22210lim()()nnnx1arctn|(7)4与4 解：为方便起见。取 轴和 轴如图， xy此时圆的方程为（3 分）29由于在相同深度处水的静压强相同，其值等于水
3、的比重 与v深度 到 这一狭条 上所受的静压力为xA（6 分）29Pdvxd从而闸门上所受的总压力为（7 分）320918Pvxdv五：证明（21 分）1、 时条件收敛.(7 分)cos1pxd当证明 ：当 时 条件收敛，这是因为对任意0p1cospxd，有 ，而 当 时单调趋于u1|cos|ins|2uxu 0，故由狄利克雷判别法知 总是收敛0()x1cs1px当的. (4 分)另一方面,由于 其中2cosos2| ,)pxx满足狄利克雷判别条件,是收敛的,而12cos1xtdd是发散的,因此当 时该无穷积分不是绝对收敛的,所201p以它是条件收敛的. (7 分) 2、设 与 都在 上可积，
4、证明 在 也可fg,ba(),max)(,gfMb,ba积.(7 分 )证明 :由于 与 都在 上可积,故 在 上也fg()f,可积,由此 在 上可积,又()fxba(6 分)()()2fxfxgM且可积函数的和、差、数乘及复合函数仍可积，所以 在(Mx上均可积(分),ba3、证明若级数 的收敛半径为 ,且在 时收敛,则级数0nxa)0(RRx在 上一致收敛. (7 分)0nxa,R证明：级数 在 时收敛，对于 有0nxaR0,xR(4 分)00()nna已知级数 收敛，函数列 在 上递减且一致有界，即0naR()nxR,故由阿贝尔判别法知 在 上21()()0nxx 0nxa,R一致收敛. (7 分)
