1、第- 1 -页 共 7 页南通市 2011 届高三第一次调研测试数学参考答案A必做题部分一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分1 1 20.2 3 455 5690 6 7 （2） ，z 1（4 ）8 91 10 1152 2,3C12 13 14271a 4m二、解答题：本大题共 6 小题，共 90 分15 （本题满分 14 分）解：（1）由| ab|=2，得|ab | a 2ab b ab ， ab 7 分241412（2）|a+b| a ab b ， |a+b| 14 分22146616 （本题满分 14 分）证明：（1）设 ACBDG，连接 FG由四边形 ABC
2、D 为平行四边形，得 G 是 AC 的中点又F 是 EC 中点，在ACE 中，FGAE3 分AE 平面 BFD，FG平面 BFD，AE平面 BFD； 6 分（2） ， 2AEBBE又直线 BC平面 ABE， AC又 ，直线 平面 8 分C由（1）知，FGAE ，直线 平面 10FGBE分又直线 平面 DBF，平面 DBF平面 BCE 14FG分第- 2 -页 共 7 页17 （本题满分 15 分）解：（1）由条件，得 ， 22A34T分 ， 4T6分 曲线段 FBC 的解析式为 2sin()63yx当 x=0 时， 又 CD= ， 7 分3yOC44CODE， 即（2）由（1） ，可知 6D又
3、易知当“矩形草坪”的面积最大时，点 P 在弧 DE 上，故 8 分6P设 ， ， “矩形草坪”的面积为POE0426sincos6insicosinS= 13 分11(i2)32i()34 ，故 取得最大值15 分04 =48S当 时 ， 时 ，18 （本题满分 15 分）解：（1）由已知， ，直线 (,0)(,2,0)ABF8lx的 方 程 为设 N（8，t） （ t0） ，因为 AM=MN，所以 M（4， ） 2t由 M 在椭圆上，得 t=6故所求的点 M 的坐标为 M（4， 3） 4 分所以 ， (6,3)(2,3)AB19AB765cos|694分（用余弦定理也可求得）（2 ）设圆的方
4、程为 ，将 A，F，N 三点坐标代入，得20xyDE第- 3 -页 共 7 页2 2,1640, 78,8.DDFEtttF 圆方程为 ，令 ，得 11 分22()0xytyx27()80yty设 ，则 12(0,),)PQ2127(3tt、 ）由线段 PQ 的中点坐标为（0，9） ，得 ， 128y718t此时所求圆的方程为 15 分 20xy（本题用韦达定理也可解）（2 ） （法二）由圆过点 A、F 得圆心横坐标为1，由圆与 y 轴交点的纵坐标为（0 ，9） ，得圆心的纵坐标为 9，故圆心坐标为 （1 ，9） 11 分易求得圆的半径为 ，13 分30所以，所求圆的方程为 15 分221)(
5、9)0xy（19 （本题满分 16 分）解：（1） 的图象与 的图象关于 y 轴对称，()gx()f 的图象上任意一点 关于 轴对称的对称点 在 的图象上f ,)Px(,)Qxy(g当 时， ，则 2 分1,0)x(0,1 2()ln(fgxa 为 上的奇函数，则 4 分(f0f当 时， ， 60,1x1,)x2()lnfxfxa分 7 分22ln()(0),)0,l1.xaxf （1）由已知， ()fxax若 在 恒成立，则 0f ,12120axx 此时， ， 在 上单调递减， ，2a ()fx0,min()()ffa第- 4 -页 共 7 页 的值域为 与 矛盾11 分()fx,)a|(
6、)|1fx当 时，令 ，12a(20(0,12fxa 当 时， ， 单调递减，0,)xa)f()fx当 时， ， 单调递增，1(,2(0fxf 2min11)ln)()ln()22fxf aaa由 ，得 15 分|(|1 e( 综上所述，实数 的取值范围为 162分20 （本题满分 16 分）解：（1）不妨设 1，设数列 有 n 项在 1 和 100 之间，则aa100所以， 10013()2n 13()2两边同取对数，得 （n1） （ lg3lg2）2解之，得 n12.37故 n 的最大值为 12，即数列 中，最多有 12 项在 1 和 100 之间5 分na不妨设 1 100，其中 ， ，
7、 a13221()13()n 1a32， 均为整数，所以 为 2 的倍数所以 3 100，所以213()a n a11nn58 分又因为 16，24，36，54，81 是满足题设要求的 5 项所以，当 q 时，最多有 5 项是 1 和 100 之间的整数10 分32（2 ）设等比数列 满足 100a aq 1000，1na1naq其中 a， aq， 均为整数， ，显然，q 必为有理数11q*,N分设 q= ，t s1，t 与 s 互质，因为 = 为整数，所以 a 是 的倍数12 分na()n1ns第- 5 -页 共 7 页令 t=s+1，于是数列满足 100a a a 100 1s1()ns如
8、果 s3 ，则 1000a （q+1 ）n 14n 1，所以 n51()ns如果 s=1，则 1000a 100 ，所以，n42如果 s=2，则 1000a 100 ，所以 n61313()n13()2分另一方面，数列 128，192 ，288 ，432，648，972 满足题设条件的 6 个数，所以，当 q1 时，最多有 6 项是 100 到 1000 之间的整数 16分B附加题部分21【选做题】每小 题 10 分共 20 分A选修 41 ：几何证明选讲解： 连 OC ABC =60，BAC =40， ACB=804 分 OE AB， E 为 的中点， 和 的度数均为 80ABAEBC EO
9、C =80+80=1608 分 OEC =10 10 分B选修 42：矩阵与变换解：设 为曲线 上任意一点， 为曲线 上与 P 对应的点，(,)Pxy2C(,)Pxy2241xy则 ，即 5 分10x2,. 是曲线 上的点， 的方程 10 分P1C22()1xyC选 修 44：坐标系与参数方程解：将曲线 化成普通方程是 ，圆心是（ 1，0） ，1 2(1)xy第- 6 -页 共 7 页直线 化成普通方程是 ，则圆心到直线的距离为 2 52C20y分 曲线 上点到直线的距离为 1，该点为（1 ，1） 101分D选 修 45：不等式 选讲证明：由柯西不等式，得5 分12212(CC)(1)(C)n
10、 nnn n )(n 10 分12(21)nnn 22【必做题】本 题满分 10 分证明：（1）当 时，左边 ，右边 左边，1362346等式成立2分（2 ）设当 时，等式成立，*()nkN即 4(1)2(3)1324(1)24kkk分则当 时，nk左边 1234(1)2(1)2(3)kkk()()3()()412314()().kkkkk 时，等式成立8 分1n由（1） 、 （2 ）可知，原等式对于任意 成立 10 分*nN23【必做题】本 题满分 10 分解：（1）第一班若在 820 或 840 发出，则旅客能乘到，其概率为第- 7 -页 共 7 页P= + = 3 分121434（2 ）旅客候车时间的分布列为：候车时间（分） 10 30 50 70 90概率12 1414 1414 12 14 146分（3 ）候车时间的数学期望为10 30 50 70 9012 14116 18116=5 =30 9152 258 354 458分答：这旅客候车时间的数学期望是 30 分钟10分
