1、。高等数学（理工类）课程教学大纲学 时 数：144学 分 数：8适用专业：高职高专理工类执 笔：吴赣昌编写日期：2009 年 6 月课程的性质、目的和任务本课程是高职高专院校理工类专业高等学校工科本科各专业学生的一门必修的重要基础理论课，它是为培养我国社会主义现代化建设所需要的高质量建设人才服务的。通过本课程的学习，要使学生获得一元函数微积分学、向量代数和空间解析几何、多元函数微积分学、无穷级数与常微分方程等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为后续课程的学习奠定必要的数学基础。在课程的教学过程中，要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、数学运算能力、综合
2、解题能力、数学建模与实践能力以及自学能力。课程教学的主要内容与基本要求一、函数、极限与连续主要内容： 实数与区间，函数的概念及其表示法，函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性，函数关系的建立；反函数、复合函数，基本初等函数，初等函数及应用；极限的概念与性质，函数的左、右极限；极限的四则运算；两个重要极限；无穷小与无穷大，无穷小的比较；连续函数的概念，函数的间断点；初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。基本要求：1、理解函数的概念，掌握函数的表示法；2、理解函数的有界性、单调性、周期性和奇偶性；3、能将简单实际问题中的函数关系表达出来；4、理解反函数、复合函数的概念；5、掌握基本初等函数的性质
3、及其图形，理解初等函数的概念及应用；6、理解数列极限和函数极限(包括左、右极限)的概念，理解数列极限与函数极限的区别与联系；7、能正确运用极限的四则运算法则，掌握两个重要极限及其应用；8、理解无穷小与无穷大的概念，掌握无穷小比较；9、理解函数连续性与函数间断的概念，知道初等函数的连续性，知道闭区间上连续函数的性质。二、导数与微分主要内容： 导数的概念，导数的几何意义和物理意义，函数的可导性与连续性之间的关系；基本初等函数的导数，导数的四则运算，导数作为变化率的应用举例，反函数的导数，复合函数的求导法则；隐函数的导数；高阶导数的概念；微分的概念，微分的四则运算，一阶微分形式的不变性，函数的线性化
4、，利用微分进行近似计算。一阶微分形式的不变性微分在近似计算中的应用。基本要求：1、理解导数与微分的概念，知道导数的几何意义，了解导数的物理意义，会用导数描述一些物理量，了解函数的可导性与连续性之间的关系；2、掌握导数的四则运算法则，掌握作为变化率的导数在几何、物理尤其是在经济学中的应用，会求部分复合函数的求导法，掌握基本初等函数的导数公式，了解微分的四则运算法则和一阶微分形式的不变性，了解微分在近似计算中的应用；3、会求隐函数的一阶导数，了解高阶导数的概念；4、会求隐函数和由参数方程所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。三、导数的应用主要内容： 罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定
5、理；洛必达法则；函数的单调性及其判别法，曲线的凹凸性及其判别法，函数的极值及其求法；函数最大值和最小值的求法及其在抛射体运动和经济中的应用；渐近线，函数图形的描绘；*曲率。基本要求：1、理解并会用罗尔定理，拉格朗日中值定理，了解并会用柯西中值定理；2、掌握用洛必达法则求未定式极限的方法；3、理解函数的极值概念，能用导数求函数的极值，掌握用导数判断函数的单调性的方法，会用导数判断曲线的凹凸性，会求曲线的拐点；4、掌握函数最大值和最小值的求法及其在抛射体运动和经济中的应用；5、会求水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。四、不定积分主要内容： 原函数和不定积分的概念，不定积分的基本性质，基本积分公
6、式；不定积分的换元积分法与分部积分法。基本要求：1、理解原函数的概念、理解不定积分的概念；2、熟悉不定积分的基本积分公式；3、熟练掌握计算不定积分的凑微分法、换元积分法和分部积分法；五、定积分及其应用主要内容： 定积分的概念；定积分的性质；积分上限的函数及其导数，牛顿莱布尼茨公式；定积分的换元积分法与分部积分法；无穷限的广义积分，无界函数的广义积分；定积分的微元法及其应用：求平面图形的面积、旋转体的体积、变力沿直线所作的功等。基本要求：1、理解定积分的概念与性质；2、掌握微积分基本定理与牛顿莱布尼茨公式； 3、能利用定积分的基本性质、换元积分法与分部积分法计算定积分；4、了解广义积分的概念并会
7、计算简单无穷限的广义积分；5、会用定积分表达和计算一些几何量与物理量；六、空间解析几何与向量代数主要内容： 向量的概念，向量的线性运算；空间直角坐标系，向量的坐标表达式及其运算，单位向量，方向数与方向余弦；向量的数量积与向量积的概念，两向量垂直和平行的条件，两向量的夹角；曲面及其方程，球面及其方程，旋转轴为坐标轴的旋转曲面及其方程，母线平行于坐标轴的柱面及其方程；空间曲线的参数方程和一般方程，空间曲线在坐标面上的投影；空间平面和直线的方程及其求法，平面与平面、平面与直线、直线与直线间几何位置的判定，点到面和点到直线的距离；常用二次曲面的方程及其图形特征。基本要求：1、理解向量的概念及其表示；2
8、、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积） ，了解两个向量垂直与平行的条件；3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题；4、理解曲线方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；5、了解空间曲线的参数方程和一般方程；6、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。七、多元函数微积分主要内容： 多元函数的概念，二元函数的极限，二元函数的连续性；偏导数的概念与计算，高阶偏导数；多元函数全微分的概念，标准线性近似的概念，全微分在近似计算中的应用；多元函数的复合函数微分法，多元函
9、数的隐函数微分法，多元函数微分法在几何上的应用；多元函数的极值及其求法，多元函数极值的必要条件和充分条件，条件极值的概念及其求法（拉格朗日乘数法） ，多元函数的最大值、最小值及其简单应用；二重积分的概念与性质，直角坐标系下二重积分的计算，极坐标系下二重积分的计算，二重积分的应用。基本要求：1、理解多元函数的概念；2、理解偏导数和全微分的概念；3、掌握复合函数一阶、二阶偏导数的求法，会求隐函数的偏导数；4、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程；5、理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会
10、解决一些简单的应用问题。6、理解二重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理；7、掌握二重积分（直角坐标情形、极坐标情形）的计算方法；8、会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等） 。八、无穷级数主要内容： 常数项级数收敛与发散的概念，收敛级数的和的概念，收敛级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数与 p级数；正项级数的比较审敛法、比值审敛法、根值审敛法；交错级数的莱布尼茨定理，绝对收敛与条件收敛的概念；函数项级数的收敛域与和函数的概念，幂级数的收敛半径、收敛区间（指开区间）和收敛域，幂级数在其收敛区间内的基本性质；简单幂级数的和函数的求法，
11、函数可展开为泰勒级数的充分必要条件， 阶泰勒多项式，麦克劳林n展开式。基本要求：1、理解常数项级数收敛、发散以及收敛级数的和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件；2、熟悉几何级数与 p级数的收敛性；3、会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法，掌握正项级数的比值审敛法；4、会用交错级数的莱布尼茨定理；5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念，以及绝对收敛与条件收敛的关系；6、知道函数项级数的收敛域及和函数的概念；7、掌握幂级数的收敛半径，收敛区间及收敛域的求法；8、知道幂级数在其收敛区间内的一些基本性质；9、掌握 及 的麦克劳林展开式，会用它们将一些)1ln(,cosi,xxen)(简单的函
12、数间接展开成幂级数。九、微分方程主要内容： 常微分方程的概念，微分方程的解、通解、初始条件和特解；变量可分离的方程，一阶线性方程；可降阶的高阶微分方程；二阶线性微分方程解的结构；二阶常系数齐次线性微分方程及其通解，自由项为多项式、指数函数以及它们的和与乘积的二阶常系数非齐次线性微分方程的解法； *微分方程的简单应用。基本要求：1、了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念；2、掌握变量可分离的方程及一阶线性方程的解法；3、会用降阶法解下列形式的微分方程：， ；),x(fy)n()y,x(f )y,(f4、了解线性微分方程解的性质及解的结构定理；5、会求自由项为多项式，指数函数以及它们的和与
13、积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解；6、会用微分方程或方程组解决一些简单的应用问题。十、拉普拉斯变换主要内容： 拉普拉斯变换的概念与性质，狄拉克（Dirac）函数；拉普拉斯变换的逆变换；拉普拉斯变换的应用。基本要求：1、了解拉普拉斯变换的概念、性质与求法；2、了解怎样由像函数求出它的像原函数；3、了解拉普拉斯变换与逆变换的简单应用。各教学环节的学时分配各教学环节学时分配 备注章 节主要内容讲授实验讨论习题课外其它小计一 函数、连续与极限 20 2 26二 导数与微分 10 2 12三 导数的应用 14 2 16四 不定积分 8 2 10五 定积分及其应用 20 2 4 26六 空间解
14、析几何与向量代数 12 12七 多元函数微积分 14 2 16八 无穷级数 12 12九 微分方程 12 2 2 16十 拉普拉斯变换 2 2合 计 124 4 16 144注：教学环节中的实验环节共安排 4 学时，安排数学实践训练的教学内容：四个数学实验项目。该环节的考核成绩占课程总成绩的 10。实验大纲内容如下：项目一 一元函数微积分学一、目的要求：参见下列分项实验内容。二、主要内容：参见下列分项实验内容。三、方式和时间安排：本项目的实践训练共安排 2 学时，时间安排在定积分的教学内容将近结束时。四、场所安排：数学建模与仿真实验室。五、考核方式：根据提交的实验报告按百分制评定成绩。实验 1
15、.1 一元函数的图形（基础实验）目的要求 通过图形加深对函数及其性质的认识与理解，掌握运用函数的图形来观察和分析函数的有关特性与变化趋势，建立数形结合的思想；掌握用Mathematica 作平面曲线图形的方法与技巧。主要内容 初等函数的图形；二维参数方程作图；用极坐标命令作图；隐函数作图；分段函数作图；函数性质的研究。实验 1.2 一元函数微积分（基础实验）目的要求 掌握用 Mathematica 计算一元函数的极限，导数与微分，求一元函数极值，计算不定积分与定积分的方法。通过作图和观察，深入理解微分、定积分的概念和思想方法。初步了解定积分的近似计算方法。理解变上限积分的概念。提高应用定积分解
16、决各种问题的能力。主要内容 两个重要极限；无穷大；求函数的导数与微分；求隐函数的导数；求由参数方程确定的函数的导数；求函数的极值；求极值的近似值；不定积分计算；定积分计算；变上限积分； 定积分应用。项目二 多元函数微积分一、目的要求：参见下列分项实验内容。二、主要内容：参见下列分项实验内容。三、方式和时间安排：本项目的实践训练共安排 2 学时，时间安排在微分方程的教学内容将近结束时。四、场所安排：数学建模与仿真实验室。五、考核方式：根据提交的实验报告按百分制评定成绩。实验 2.1 空间图形的画法目的要求 掌握用 Mathematica 绘制空间曲面和曲线的方法。熟悉常用空间曲线和空间曲面的图形
17、特征，通过作图和观察，提高空间想像能力。深入理解二次曲面方程及其图形。主要内容 一般二元函数作图；二次曲面；曲面相交； *默比乌斯带；空间曲线。实验 2.2 多元函数微积学目的要求 掌握用 Mathematica 计算多元函数偏导数和全微分的方法，并掌握计算二元函数极值和条件极值的方法。掌握用 Mathematica 计算二重积分的方法；提高应用重积分解决各种问题的能力。主要内容 求多元函数的偏导数与全微分；多元函数的极值； 计算重积分；重积分的应用。实验 2.3 无穷级数目的要求 体会无穷级数部分和的变化趋势，进一步理解级数的审敛法以及幂级数部分和对函数的逼近。掌握用 Mathematica
18、 求无穷级数的和，求幂级数的收敛域，展开函数为幂级数的方法。理解常微分方程解的概念以，掌握利用 Mathematica 求微分方程的常用命令和方法。主要内容 数项级数；求幂级函数的收敛域；函数的幂级数展开；用Dsolve 命令解微分方程。课程与其它课程的联系高等数学是理工科各专业重要的必修基础课，通过这门课程的学习，将为理工科各专业的学习打下坚实的基础。这门课程的学习也将为今后各专业课程的学习建立必要的知识储备，开阔学生的眼界、丰富知识的结构、培养学生的分析问题与解决问题的能力。没有高等数学课程的学习，将无法进行其它后续课程的学习。教材与教学参考资料选用教材：吴赣昌，大学数学立体化教材：高等数学（理工类） ，中国人民大学出版社，2009 年 3 月。教学参考资料：吴赣昌，大学数学多媒体教学系统：高等数学（理工类） ，中国人民大学出版社，中国人民大学音像出版社，2006 年 6 月。同济大学应用数学系，高等数学（第五版） ，高等教育出版社，2002 年 7月。苏德矿，吴明华等，微积分（上、下） ，高等教育出版社，斯普林格出版社，2002 年 7 月。章栋恩，许晓革，高等数学实验，高等教育出版社，2004 年 7 月。A.D.Andrew, G.L.Cain 等（俞正光，章纪民译） ，用 Mathematica 做微积分实验，清华大学出版社，2003 年 9 月。
