1、1第十二单元 空间向量教材复习课 “空间向量”相关基础知识一课过空间向量中的有关定理过双基共线向量定理对空间任意两个向量 a，b(b 0 )，a b存在 R，使a b共面向量定理若两个向量 a，b 不共线，则向量 p与向量 a，b 共面存在唯一的有序实数对( x， y)，使 p xa yb空间向量基本定理定理：如果三个向量 a，b，c 不共面，那么对空间任一向量 p，存在有序实数组 x， y， z使得 p xa yb zc. 推论：设 O， A， B， C是不共面的四点，则对平面 ABC内任一点P都存在唯一的三个有序实数 x， y， z，使 x y z 且 x y z1OP OA OB OC
2、小 题 速 通 1已知 O为空间任意一点，若 ，则 A， B， C， P四点( )OP 34OA 18OB 18OC A一定不共面 B一定共面C不一定共面 D无法判断解析：选 B ，且 1. P， A， B， C四点共OP 34OA 18OB 18OC 34 18 18面2已知空间四边形 OABC中， a， b， c，点 M在 OA上，且OA OB OC OM2 MA， N为 BC中点，则 ( )MN A. a b c B a b c12 23 12 23 12 12C. a b c D. a b c12 12 12 23 23 12解析：选 B 如图所示， MN MA AB BN 13OA
3、12BC 2 OB 23OA 12 12OB 23OA 12OC a b c.23 12 123已知 a(2，1,3)，b(1,4，2)，c(7,5， )若 a，b，c 三向量共面，则实数 的值为( )A. B.627 637C. D.607 657解析：选 D 由题意设 c ta b(2 t ， t4 ，3 t2 )，Error! Error!数量积及坐标运算过双基1两个向量的数量积(1)ab |a|b|cosa，b ；(2)a bab0(a，b 为非零向量)；(3)|a|2 ，|a| .a2 x2 y2 z22向量的坐标运算a(a 1，a 2，a 3)，b(b 1，b 2，b 3)向量和
4、ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3)向量差 ab(a 1b 1，a 2b 2，a 3b 3)数量积 aba 1b1a 2b2a 3b3共线 aba 1 b1，a 2 b2，a 3 b3( R，b0)垂直 aba 1b1a 2b2a 3b30夹角公式 cosa，ba1b1 a2b2 a3b3a21 a2 a23b21 b2 b23小 题 速 通 31已知直线 l的方向向量 s(1,1,1)，平面 的法向量 n(2， x2 x， x)，若直线 l平面 ，则 x的值为( )A2 B 2C. D2 2解析：选 D 因为线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，故121( x2 x)1(
5、 x)0，解得 x .22已知向量 a(1,0，1)，则下列向量中与向量 a成 60夹角的是( )A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)解析：选 B 对于选项 B，设 b(1，1,0)ab(1,0，1)(1，1,0)1，且|a|b| ，2cosa，b ，又 0a，b180，ab|a|b| 122 12向量 a与向量(1，1,0)的夹角为 60.3.(2018西安联考)已知向量 a(0，1,1)，b(4,1,0)，| ab| 且 0，29则 _.解析：因为 ab(4， 1， )，所以| ab| ，化简整理得16 1 2 2 2 2 2 17 29 2 60，解得 2
6、 或 3，又 0，所以 3.答案：3向量法证明平行与垂直过双基1两个重要向量(1)直线的方向向量直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的非零向量，一条直线的方向向量有无数个(2)平面的法向量直线 l平面 ，取直线 l的方向向量，则这个向量叫做平面 的法向量显然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量2空间位置关系的向量表示位置关系 向量表示l1 l2 n1 n2n1 n 2直线 l1， l2的方向向量分别为n1， n2 l1 l2 n1 n2n1n20直线 l的方向向量为 n，平面 l n mmn04 的法向量为 m l n mn m n mn m平面 ， 的法向量分别为n， m n mn
7、m0小 题 速 通 1若直线 l的方向向量为 a(1,0,2)，平面 的法向量为 n(2,0，4)，则( )A l B l C l D l与 斜交解析：选 B a(1,0,2)， n(2,0，4)， n2a，即 a n， l .2.如图，在正方体 ABCDA1B1C1D1中， E， F分别在 A1D， AC上，且A1E A1D， AF AC，则( )23 13A EF至多与 A1D， AC之一垂直B EF A1D， EF ACC EF与 BD1相交D EF与 BD1异面解析：选 B 以 D点为坐标原点，以 DA， DC， DD1所在直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
8、设正方体的棱长为 1，则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， C(0,1,0)， A1(1,0,1)，E ， F ， B(1,1,0)， D1(0,0,1)，(13， 0， 13) (23， 13， 0)(1,0，1)， (1,1,0)，A1D AC ， (1，1,1)，EF (13， 13， 13) BD1 所以 ， 0， 0，EF 13BD1 A1D EF AC EF 从而 EF BD1， EF A1D， EF AC，故选 B.3若平面 1， 2垂直，则下面可以是这两个平面的法向量的是( )A n1(1,2,1)， n2(3,1,1)B n1(1,1,2)， n2(2,1,1)C n1
9、(1,1,1)， n2(1,2,1)D n1(1,2,1)， n2(0，2，2)解析：选 A 两个平面垂直时其法向量也垂直，只有 A中的两个向量垂直利用向量求空间角过双基51异面直线所成角设异面直线 a，b 所成的角为 ，则 cos ， 其中 a，b 分别是直线 a，b 的|ab|a|b|方向向量2直线与平面所成角如图所示，设 l为平面 的斜线， l A，a 为 l的方向向量，n为平面 的法向量， 为 l与 所成的角，则 sin |cosa， n| .|an|a|n|3二面角 若 AB， CD分别是二面角 l 的两个平面内与棱 l垂直的异面直线，则二面角(或其补角)的大小就是向量 与 的夹角，
10、如图(1)AB CD 平面 与 相交于直线 l，平面 的法向量为 n1，平面 的法向量为n2， n1， n2 ，则二面角 l 为 或 .设二面角大小为 ，则|cos |cos | ，如图(2)(3)|n1n2|n1|n2|小 题 速 通 1在三棱柱 ABCA1B1C1中，若 AA1底面 ABC， AB BC AA1， ABC90，点 E， F分别是棱 AB， BB1的中点，则直线 EF和 BC1的夹角为( )A45 B60C90 D120解析：选 B 如图所示，以 BC， BA， BB1，所在直线分别为 x轴，y轴， z轴建立空间直角坐标系，由于 AB BC AA1，不妨取 AB2，则 E(0
11、,1,0)， F(0,0,1)， C1(2,0,2)，所以 (0，1,1)， (2,0,2)，EF BC1 则 cos ， ，EF BC1 2222 12故直线 EF与 BC1的夹角为 60.2.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的所有棱长都相等， E， F， G分别为 AB， AA1， A1C1的中点，则 B1F与平面 GEF所成角的正弦值为( )6A. B.35 56C. D.3310 3610解析：选 A 设正三棱柱的棱长为 2，取 AC的中点 D，连接DG， DB，分别以 DA， DB， DG所在直线为 x轴， y轴， z轴建立空间直角坐标系，如图所示，则 B1 ， F(1,0,1)，
12、(0， 3， 2)E ， G(0,0,2)，(12， 32， 0) ， ， (1,0 ，1)B1F (1， 3， 1) EF (12， 32， 1) GF 设平面 GEF的法向量 n( x， y， z)，则 即Error!取 x1，则 z1， y ，3故 n 为平面 GEF的一个法向量，(1， 3， 1)所以 cos n， ，B1F 1 3 155 35所以 B1F与平面 GEF所成角的正弦值为 .353正方形 ABCD所在平面外有一点 P， PA平面 ABCD.若 PA AB，则平面 PAB与平面PCD所成的二面角的大小为( )A30 B45C60 D90解析：选 B 建立空间直角坐标系如图
13、所示，设 AB1，则 A(0,0,0)， B(0,1,0)， P(0,0,1)， D(1,0,0)，C(1,1,0)(1,0，1)， (0，1,0)，PD CD 易知平面 PAB的法向量为 n1(1,0,0)设平面 PCD的法向量 n2( x， y， z)，则 即Error!令 x1，则 z1. n2(1,0,1)，cos n1， n2 .12 22平面 PAB与平面 PCD所成的二面角的余弦值为 .227所求二面角的大小为 45.一、选择题1在空间直角坐标系中，点 P(m,0,0)到点 P1(4,1,2)的距离为 ，则 m的值为( )30A9 或 1 B9 或1C5 或5 D2 或 3解析：
14、选 B 由题意 PP1 ，30即 ， m 4 2 1 2 2 2 30( m4) 225，解得 m9 或 m1.2已知 a( 1,0,2)，b(6,2 1,2 )，若 ab，则 与 的值可以是( )A2， B ，12 13 12C3,2 D2,2解析：选 A ab，b ka，即(6,2 1,2 ) k( 1,0,2)，Error! 解得Error!或Error!3(2018揭阳期末)已知 a(2,3，4)，b(4，3，2)， x2a，则b12x( )A(0,3，6) B(0,6，20)C(0,6，6) D(6,6，6)解析：选 B 由 b x2a，得 x4a2b(8,12，16)(8，6，4)
15、12(0,6，20)4已知 a(2,1，3)，b(1,2,3)，c(7,6， )，若 a，b，c 三向量共面，则 ( )A9 B9C3 D3解析：选 B 由题意知 c xa yb，即(7,6， ) x(2,1，3) y(1,2,3)，Error!解得 9.5在空间四边形 ABCD中， ( )AB CD AC DB AD BC A1 B0C1 D不确定8解析：选 B 如图，令 a， b， c，AB AC AD 则 AB CD AC DB AD BC a(cb)b(ac)c(ba)a ca bb ab cc bc a0.6已知空间四边形 OABC，其对角线为 OB， AC， M， N分别是 OA，
16、 BC的中点，点 G在线段 MN上，且 2 ，现用基底 ， ， 表示向量 ，有MG GN OA OB OC OG x y z ，则 x， y， z的值分别为( )OG OA OB OC A. ， B. ，1613 13 1313 16C. ， D. ，1613 12 1213 16解析：选 A OG OM MG 12OA 23MN ( )12OA 23 ON OM 12OA 23 ，16OA 13OB 13OC x ， y ， z .16 13 137.如图所示，在大小为 45的二面角 AEFD中，四边形ABFE， CDEF都是边长为 1的正方形，则 B， D两点间的距离是( )A. B.3
17、2C1 D. 3 2解析：选 D ，BD BF FE ED | |2| |2| |2| BD BF FE ED |22 2 2 111 3 ，故| | .BF FE FE ED BF ED 2 2 BD 3 28(2018东营质检)已知 A(1,0,0)， B(0，1,1)， 与 的夹角为OA OB OB 120，则 的值为( )A B.66 669C D66 6解析：选 C 因为 (1， ， )，所以 cos 120OA OB ，得 .经检验 不合题意，舍去，所以 . 1 2 22 12 66 66 66二、填空题9已知 2ab(0，5,10)，c(1，2，2)，ac4，|b|12，则以 b
18、，c 为方向向量的两直线的夹角为_解析：由题意得，(2ab)c0102010.即 2acbc10，又ac4，bc18，cosb，c ，bc|b|c| 18121 4 4 12b，c120，两直线的夹角为 60.答案：6010在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N分别是棱 AA1， BB1的中点，则sin ， _.CM D1N 解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则 C(0,2,0)， M(2，0,1)， D1(0,0,2)， N(2,2,1)可知 (2，2,1)，CM (2,2，1)，D1N 22(2)21(1)1，CM D1N | |3，| |3，CM D1N c
19、os ， ，CM D1N 19sin ， .CM D1N 459答案：45911已知点 O为空间直角坐标系的原点，向量 (1,2,3)， (2,1,2)，OA OB (1,1,2)，且点 Q在直线 OP上运动，当 取得最小值时， 的坐标是OP QA QB OQ _解析：点 Q在直线 OP上，设点 Q( ， ，2 )，10则 (1 ，2 ，32 )， (2 ，1 ，22 )，QA QB (1 )(2 )(2 )(1 )(32 )(22 )QA QB 6 216 106 2 ，当 时，( 43) 23 43 取得最小值 ，此时 .QA QB 23 OQ (43， 43， 83)答案： (43， 4
20、3， 83)12在直三棱柱 ABCA1B1C1中， BAC ， AB AC AA11，已知 G和 E分别为 A1B12和 CC1的中点， D与 F分别为线段 AC和 AB上的动点(不包括端点)，若 GD EF，则线段 DF的长度的取值范围为_解析：设 AFa， ADb，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)， E ， G ， F(a,0,0)， D(0，b ,0)， (0， 1，12) (12， 0， 1) GD ， a，1， ， (a，b ,0)(12， b， 1) EF 12 DF 因为 GD EF，所以 ， 0，GD EF GD EF 所以 ab 0，即 a2b10，12 12所以| DF| a2 b2 5b2 4b 1 .5(b 25)2 15由题意得，a12b0，所以 0b ，12所以 DF1.55答案： 55， 1)三、解答题13.如图所示，已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于a，点 M， N分别是 AB， CD的中点(1)求证： MN AB；(2)求 MN的长；(3)求异面直线 AN与 CM所成角的余弦值
